dziedzina arccos - sprawdzenie

[Eisenhower_]

Przykład:
\(\displaystyle{ f(x)=x\arccos \frac{1}{x}}\)

Założenia:
\(\displaystyle{ x\neq0}\)
\(\displaystyle{ -1\le\frac{1}{x}\le1}\)

Te drugie założenie rozbijam na dwa i przykładowo w
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}\ge-1}\)
mogę mnożyć przez x? z wcześniejszego założenia wynika, że jest on różny od 0, a nie pamiętam, czy przy mnożeniu przez x, musi on być dodatni, czy tylko różny od zera?

po wymnożeniu i dalszych rachunkach wyszło mi \(\displaystyle{ x\in\langle-1;0)\cup(0;1\rangle}\)
czy jest dobrze?

[miodzio1988]

mogę mnożyć przez x?

Nie, ale przez \(\displaystyle{ x^2}\) tak

[Eisenhower_]

Nawet, jeśli jest różne od 0?
Po przemnożeniu tych 2 założen, wyszły mi 2 takie same równania \(\displaystyle{ x^2-x\ge0}\), dziwne

ale policzyłem i wyszło
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ; 0) \cup \langle 1 ; \infty )}\)

teraz jest ok?

[miodzio1988]

Nawet, jeśli jest różne od 0?

tak, znak się tego \(\displaystyle{ x}\)-sa liczy

Dwa takie same równania nie powinny Ci wyjść

[Eisenhower_]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}\le1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{x}\ge-1}\)

po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ x^2}\) wychodzi to samo równanie \(\displaystyle{ x^2 - x \ge 0}\)
gdzie robię błąd?

[kropka+]

\(\displaystyle{ \frac{1}{x} \le 1 \Rightarrow x \le x ^{2} \Rightarrow x ^{2}-x \ge 0\\ \\
\frac{1}{x} \ge -1 \Rightarrow x \ge -x ^{2} \Rightarrow x ^{2}+x \ge 0}\)

[Eisenhower_]

głupi znak, dzięki

czyli ostatecznie dziedziną tej funkcji jest
\(\displaystyle{ x \in (- \infty ; -1> \cup (0 ; + \infty )}\)?

[kropka+]

Drugi przedział źle.

[Eisenhower_]

\(\displaystyle{ x \in (- \infty ; -1> \cup <1 ; + \infty )}\)

[kropka+]

Tak