Udowodnij nierównośc

[przemk20]

\(\displaystyle{ \alpha_i \in (0; \frac{\pi}{2})}\)

\(\displaystyle{ \tan^2 (min \ \alpha_i) \leq \frac{\sum_{i=0}^n \tan \alpha_i}{\sum_{i=0}^n \cot \alpha_i} \leq
\tan^2 (max \ \alpha_i) }\)

[sigma_algebra1]

Wystarczy zauwazyc ze na tym przedziale tg jest funkcja rosnącą a ctg malejącą. Ponadto oczywiście tg=1/ctg.Mamy wiec:

\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=0}^n \tan\alpha_i}{\sum_{i=0}^n \cot\alpha_i}\leq \frac{n\tan(\max\alpha_i)}{n\cot(\max\alpha_i)}=\frac{\tan(\max\alpha_i)}{\cot(\max\alpha_i)}=\tan^2(\max\alpha_i)}\)

I podobnie z dołu.

Pozdrawiam

[ Dodano: 8 Maj 2007, 22:59 ]
Dla formalności powinno być w szacowaniu (n+1) w liczniku i mianowniku bo i przebiega od 0 do n...co oczywiscie nic nie zmienia

[przemk20]

niezle, a to ciag dalszy:
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{i=0}^n \tan \alpha_i}{\sum_{i=0}^n \cot \alpha_i} \geq 1}\)