Wyznaczyć dziedzinę naturalną

[wlosek94]

Witam! Mam problem z wyznaczeniem takiej dziedziny:

\(\displaystyle{ \sqrt{\arccos \frac{1+ x^{2} }{9- x^{2}}}}\)

Wiem, że muszę napisać założenia na dziedzinę, tu będą dwa:
1.\(\displaystyle{ 9- x^{2} \neq 0}\)
2.\(\displaystyle{ \arccos \frac{1+ x^{2} }{9- x^{2}} \ge 0}\)

z pierwszego założenia będzie, że \(\displaystyle{ x \neq 3 \wedge x \neq -3}\)

a teraz drugie robie tak:
\(\displaystyle{ \arccos \frac{1+ x^{2} }{9- x^{2}} \ge 0 / \cdot (9-x^{2} \\
\arccos 1+x^{2} \ge 9-x^{2}/ \cdot \cos \\
1+x^{2} \ge \cos 9 - x^{2} \\
2x^{2} \ge \cos 8 \\
x^{2} \ge \cos 4 \\
x \ge \cos 2}\)

Chyba nie do końca rozumiem co robię, mógłby mi ktoś jakoś przystępnie wyjaśnić jak rozwiązać drugi warunek? Będę bardzo wdzięczny!

[mortan517]

\(\displaystyle{ \arccos \frac{1+ x^{2} }{9- x^{2}} \ge 0 / \cdot (9-x^{2})}\)

Tutaj robisz błąd. Nie wolno tak mnożyć argumentu funkcji.

[wlosek94]

hmmm
ok, to może tak:
\(\displaystyle{ \arccos \frac{1+ x^{2} }{9- x^{2}} \ge 0 / \cdot \cos x \\
\frac{1+x^{2}}{9-x^{2}} \ge \cos x \\
(1+x^{2})(9-x^{2}) \ge \cos x}\)
i wychodzę na coś takiego
\(\displaystyle{ -x^{4} +8x^{2} + 9 \ge \cos x}\)
i co, podstawić za \(\displaystyle{ x^{2} = t}\)?
obliczyć deltę i tak dalej? Tylko teraz moje pytanie. jak za \(\displaystyle{ x}\) podstawię \(\displaystyle{ t}\) to jak potem wyznaczyć część wspólną, skoro nie będę miał wykresu \(\displaystyle{ f(x)}\) tylko \(\displaystyle{ t(x)}\)?
Dzięki wielkie!

-- 11 lut 2014, o 19:50 --

Kurcze, znowu się zgubiłem. nie napisałem założenia na dziedzinę arcusa, ale w sumie pierwiastek mi określa , że musi być większe lub równe zero, czyli mogę pominąć założenie dla arcusa ? Poza tym, dalej nie wiem co z tą częścią wspólną.
moje obliczenia:
\(\displaystyle{ (1+x^{2})(9-x^{2} \ge \cos x\\
-x^{4} + 8x^{2} + 9 \ge \cos x}\)
czyli \(\displaystyle{ x^{2} = t}\)
\(\displaystyle{ \Delta =100, \sqrt{\Delta} =10\\
t_{1} = 9 , t_{2}= -1}\)
Która mądra matematyczna głowa, powie mi czy to jest ok, czy nie i jak (ew.) wyznaczyć część wspólną , żeby określić dziedzinkę?

[m_skiba24]

Jak przykładasz cos stronami to po prawo chyba jest \(\displaystyle{ \cos 0}\) a nie \(\displaystyle{ \cos x}\).
I musisz mieć warunek na \(\displaystyle{ \arccos x}\): \(\displaystyle{ x \in \left[ -1,1\right]}\), a tutaj odpowiednio ...