rozwiąz równanie

[geol13]

\(\displaystyle{ \arcsin \cos 2x = \frac{ \pi }{4} +x}\)

proszę o pomoc

[lukasz1804]

Prawa strona może przyjmować tylko te wartości, dla których lewa ma sens. Jaki jest zbiór wartości funkcji arcus sinus?
Przy powyższej uwadze mamy równoważnie \(\displaystyle{ \cos 2x=\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\iff\cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}\).

[geol13]

zbiór wartości jest od \(\displaystyle{ -1}\) do \(\displaystyle{ 1}\)

-- 10 lut 2014, o 18:47 --

Doszłam do:

\(\displaystyle{ \cos 2x=\cos ( \frac{ \pi }{4}-x)}\)

i dalej:
\(\displaystyle{ 2x= \frac{ \pi }{4}-x}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{12}}\)

[leszczu450]

lukasz1804, pozwól, że podłączę się pod temat. Dlaczego \(\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)= \cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}\)?

[wujomaro]

\(\displaystyle{ \sin x= \cos\left( \frac{\pi}{2}-x\right)}\)
Podstaw dane wartości.
Pozdrawiam!

[lukasz1804]

Nie, zbiorem wartości jest przedział \(\displaystyle{ \langle -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\rangle}\). Zatem \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{2}\le\frac{\pi}{4}+x\le\frac{\pi}{2}\iff -\frac{3}{4}\pi\le x\le\frac{\pi}{4}}\)

Z równania \(\displaystyle{ \cos 2x=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)}\) wynika, że \(\displaystyle{ 2x=\frac{\pi}{4}-x+2k\pi}\) lub \(\displaystyle{ 2x=x-\frac{\pi}{4}+2k\pi}\), tj. \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi}\) lub \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi}\).

Mamy zatem trzy rozwiązania, nie tylko jedno.

leszczu450, to efekt zastosowania wzoru redukcyjnego. Spójrz: \(\displaystyle{ \sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)=\cos\left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right]}\).

[leszczu450]

lukasz1804, dzięki ! Fajny sposób na sztuczne wygenerowanie sobie tego co chcemy : ) Przez chwilę myslałem, że chodzi tu o parzystość cosinusa : ) Dzięki za wytłumaczenie jeszcze raz.-- 10 lut 2014, o 19:31 --lukasz1804, i oczywiście trzeba pamiętać, że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}+x}\) siedzi nam w pierwszej ćwiartce. Dobrze mówię?

[lukasz1804]

leszczu450, wbrew pozorom nie musi być to pierwsza ćwiartka. Może być każda. Zawsze możesz sobie sprawdzić prawdziwość mojego stwierdzenia, korzystając np. ze wzoru na kosinus różnicy.

[leszczu450]

lukasz1804, wspominasz o trzech rozwiązaniach. Ja w Twoim poście widzę tylko dwa. To ja czegoś nie widzę czy Ty coś przeoczyłeś?

-- 10 lut 2014, o 22:48 --

Aaa ! Już chyba rozumiem. Popraw mnie jeśli się mylę:

Z tego : \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{12}+\frac{2}{3}k\pi}\) wynika, że dla:

1) \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ x= \frac{\pi}{12}}\)
2)\(\displaystyle{ k=-1}\) mamy \(\displaystyle{ x = - \frac{3}{4} \pi}\)

Zaś z tego: \(\displaystyle{ x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi}\) wynika, że dla :

3) \(\displaystyle{ k=0}\) mamy \(\displaystyle{ x= - \frac{\pi}{4}}\)


Przepraszam autora tematu za wtrącanie się w temat. Myślę jednak, że moje pytania poprawią zrozumienie zadania nie tylko mnie.

[geol13]

Oczywiście, polecam "wtrącanie się"