Rownanie trygonometryczne

[Consolidaa]

Witam. Mam problem z równaniami trygonometrycznymi, bardzo proszę o wytłumaczenie od czego należy zaczynać itp. Oto przykład:

\(\displaystyle{ \sin(x+40^\circ)=\sin(50^\circ-x)}\)

[bakala12]

Wszystko na lewą stronę i wzór na różnicę sinusów.

[Consolidaa]

Ale z tego wzoru nic mi nie wychodzi bo już próbowałam

[Lider_M]

Lepiej zastanowić się nad własnościami sinusa, mianowicie:
\(\displaystyle{ \sin a=\sin b}\)

\(\displaystyle{ a=b+2k\pi, a=\pi-b+2k\pi, k\in\mathbb{Z}}\)

[Consolidaa]

Wciąż nie rozumiem.

[Dilectus]

Zrób z różnicy (lub sumy) sinusów:

\(\displaystyle{ \sin(x+40^\circ)=\sin(50^\circ-x)}\)

\(\displaystyle{ \sin(x+40^\circ) - \sin(50^\circ-x)=0}\)

\(\displaystyle{ \sin(x+40^\circ) + \sin(x- 50^\circ)=0}\)

Teraz suma sinusów:

\(\displaystyle{ \sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}2}\cdot \cos {\frac {x\mp y}2}}\)

Mamy więc:

\(\displaystyle{ 2 \sin \frac{2x-10^\circ}{2} \cdot \cos \frac{90^\circ}{2} =0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{2} \cdot \sin (x-5^\circ)=0}\)

Dalej chyba już poradzisz, co?

[Consolidaa]

Dziękuję bardzo za pomoc ale chyba dalej jednak sobie nie poradzę...Proszę jeszcze o końcówkę

[bakala12]

Consolidaa, No to pokaż chociaż jakie masz problemy? Nie wiesz gdzie zeruje się sinus czy co?
Pytaj o co chcesz, ale żeby dostać odpowiedź powinnaś się wykazać mniejsza bądź większa inicjatywą i pokazać próbę rozwiązania.

Dziękuję bardzo za pomoc ale chyba dalej jednak sobie nie poradzę...Proszę jeszcze o końcówkę

Cytując klasyka:

Gotowca nie będzie.

[Consolidaa]

Rozumiem wszystko co zostało obliczone przed Dilectusa, ale nie wiem co robi się z takimi równaniami na koniec, nie potrafię powiedzieć czego konkretnie nie umiem zrobić. Co mam wykonać aby doprowadzić to równanie do końca?

[loitzl9006]

jak rozwiązujesz równanie to na koniec ma być \(\displaystyle{ x=...}\)

na początek musisz podzielić obustronnie równanie przez \(\displaystyle{ \sqrt2}\):

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{2} \cdot \sin (x-5^\circ)}{\sqrt2}=\frac0{ \sqrt{2}} \\ \\ \sin (x-5^\circ)=0}\)

komentarz do równania powyżej
szukasz takiego iksa, żeby sinus tego co w nawiasie był zero. Trzeba się zastanowić kiedy (dla jakiego argumentu) sinus jest zero
teraz zauważasz, że sinus przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\) wyłącznie wtedy, gdy jego argument jest równy \(\displaystyle{ 180^\circ \cdot k}\) dla dowolnego całkowitego \(\displaystyle{ k}\). Możesz to zauważyć, patrząc na wykres funkcji sinus.

z tego powodu

\(\displaystyle{ \sin (x-5^\circ)=\sin\left( 180^\circ \cdot k\right)}\)

porównujesz teraz argumenty sinusów

\(\displaystyle{ x-5^\circ=180^\circ\cdot k}\)

i wyznaczasz \(\displaystyle{ x}\)

\(\displaystyle{ x= 5^\circ+180^\circ\cdot k}\)

i to jest koniec

[Consolidaa]

DZIĘKUJĘ! Już rozumiem jak to robić:)