udowodnij że funkcja \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \sin \sqrt{x}}\) nie jest okresowa
dziękuje za pomoc
okresowość funkcji trygonometrycznej
-
Seth Briars
- Użytkownik
- Posty: 151
- Rejestracja: 20 lis 2013, o 00:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Coot's Chapel
- Pomógł: 55 razy
okresowość funkcji trygonometrycznej
Gdyby była okresowa, to istniałoby \(\displaystyle{ t > 0}\) (mniejsze od zera być nie może ze względu na dziedzinę tej funkcji) i zachodziłaby dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) równość \(\displaystyle{ f(x^2+t)-f(x^2)=0}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ f(x^2+t)-f(x^2)=\sin(\sqrt{x^2+t})-\sin(x)=2\sin\left(\frac{\sqrt{x^2+t}-x}{2}\right)\cos\left(\frac{\sqrt{x^2+t}+x}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ f(x^2+t)-f(x^2)=0 \Leftrightarrow 2\sin\left(\frac{\sqrt{x^2+t}-x}{2}\right)\cos\left(\frac{\sqrt{x^2+t}+x}{2} \right)=0 \Leftrightarrow \\ \frac{\sqrt{x^2+t}-x}{2}=k\pi \vee \frac{\sqrt{x^2+t}+x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x^2+t}-x}{2}=k\pi \vee \frac{\sqrt{x^2+t}+x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow \\ x^2+t=4k^2 \pi ^2 +x^2 + 4k \pi x \vee x^2+t=\pi ^2 + 4k^2 \pi^2 +x^2 + 4k \pi ^2-2\pi x-4 k \pi x}\)
\(\displaystyle{ t}\) jest stałą, więc \(\displaystyle{ 4k^2 \pi ^2 x=0}\) skąd \(\displaystyle{ k=0}\), ale wtedy \(\displaystyle{ t=0}\), co przeczy założeniu, z kolei w drugim przypadku musiałoby być \(\displaystyle{ -2\pi-4k\pi=0}\) skąd \(\displaystyle{ k=-\frac{1}{2}}\), co jest niemożliwe gdyż \(\displaystyle{ k}\) musi być całkowite.
Ponieważ
\(\displaystyle{ f(x^2+t)-f(x^2)=\sin(\sqrt{x^2+t})-\sin(x)=2\sin\left(\frac{\sqrt{x^2+t}-x}{2}\right)\cos\left(\frac{\sqrt{x^2+t}+x}{2} \right)}\)
\(\displaystyle{ f(x^2+t)-f(x^2)=0 \Leftrightarrow 2\sin\left(\frac{\sqrt{x^2+t}-x}{2}\right)\cos\left(\frac{\sqrt{x^2+t}+x}{2} \right)=0 \Leftrightarrow \\ \frac{\sqrt{x^2+t}-x}{2}=k\pi \vee \frac{\sqrt{x^2+t}+x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x^2+t}-x}{2}=k\pi \vee \frac{\sqrt{x^2+t}+x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow \\ x^2+t=4k^2 \pi ^2 +x^2 + 4k \pi x \vee x^2+t=\pi ^2 + 4k^2 \pi^2 +x^2 + 4k \pi ^2-2\pi x-4 k \pi x}\)
\(\displaystyle{ t}\) jest stałą, więc \(\displaystyle{ 4k^2 \pi ^2 x=0}\) skąd \(\displaystyle{ k=0}\), ale wtedy \(\displaystyle{ t=0}\), co przeczy założeniu, z kolei w drugim przypadku musiałoby być \(\displaystyle{ -2\pi-4k\pi=0}\) skąd \(\displaystyle{ k=-\frac{1}{2}}\), co jest niemożliwe gdyż \(\displaystyle{ k}\) musi być całkowite.