nierówności trygonometryczne

[Masita+++]

rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ 2x^{4} \le \sin^{4}x + \cos^{6}x -1}\)

dziękuje za pomoc

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ x=0.}\)

[Seth Briars]

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \sin^4(x)+\cos^6(x)-1=-\frac{1}{2}\sin^2(x)\cos^2(x)(\cos(2x)+5)}\)

Istotnie - z jednej strony

\(\displaystyle{ \sin^4(x)+\cos^6(x)-1=(1-\cos^2(x))^2+\cos^6(x)-1= \\ \cos^4(x)-2\cos^2(x)+\cos^6(x)}\)

z drugiej

\(\displaystyle{ -\frac{1}{2}\sin^2(x)\cos^2(x)(\cos(2x)+5)=-\frac{1}{2}(1-\cos^2(x))\cos^2(x)(2\cos^2(x)+4)=\cos^4(x)-2\cos^2(x)+\cos^6(x)}\)

Wynika stąd, że \(\displaystyle{ 2x^{4} \le \sin^{4}x + \cos^{6}x -1 \Leftrightarrow 2x^4 \le -\frac{1}{2}\sin^2(x)\cos^2(x)(\cos(2x)+5)}\)

Ponieważ lewa strona jest nieujemna, więc prawa też musi być nieujemna aby nierówność zachodziła, ale prawa strona jest niedodatnia, więc musi być równa zero, co ma miejsce tylko dla \(\displaystyle{ x=k\pi\vee x=\frac{\pi}{2}+k\pi,k \in \mathbb{Z}}\), skąd \(\displaystyle{ x}\) musi być równe \(\displaystyle{ 0}\), bo w przeciwnym razie lewa strona byłaby dodatnia, a skoro prawa jest niedodatnia, to nierówność by nie zachodziła. Wynika stąd, że jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x=0}\).

[Masita+++]

no tak ślicznie dziękuje dużo się jeszcze muszę nauczyć