nierówności trygonometryczne

Masita+++ · Post autor: **Masita+++** » 4 lut 2014, o 23:27

udowodnij że dla każdej liczby naturalnej n i dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność
\(\displaystyle{ \sin ^{2n} x + \cos ^{2n}x \ge \frac{1}{ 2^{n - 1} }}\)

dziękuje za pomoc

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 lut 2014, o 17:07

zastosuj nierówność między średnią arytmetyczną i geometryczną, wzór na sinus podwojonego kąta i fakt, że sinus jest ograniczony

bakala12 · Post autor: **bakala12** » 7 lut 2014, o 17:22

Ewentualnie przez indukcję.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 7 lut 2014, o 17:31

Ooops, sorry, tą drogą, którą sugerowałem nie pójdzie.-- 8 lut 2014, o 13:15 --Ale moźesz skorzystać z faktu, ze \(\displaystyle{ \cos^2 x=1-\sin^2 x}\) i znaleźć minimum funkcji \(\displaystyle{ x^n+(1-x)^n}\) w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\)