nierówności trygonometryczne

[Masita+++]

wykaż że jeśli \(\displaystyle{ 0< \alpha _{1}< \alpha _{2} <...< \alpha _{n}}< \frac{ \pi }{2}}\) to

\(\displaystyle{ \tg^{2} \alpha _{1}< \frac{\tg \alpha _{1}+\tg \alpha _{2}+...+\tg \alpha _{n}}{\ctg \alpha _{1}+\ctg \alpha _{2}+...+\ctg\alpha _{n}}<\tg^{2} \alpha _{n}}\)

[kamil13151]

\(\displaystyle{ \tg^{2} \alpha _{n}=\left( \frac{n \tg a_n}{n} \right)^2> \left( \frac{\tg a_1+\tg a_2+...+\tg a_n}{n} \right)^2 \ge \frac{\tg a_1+\tg a_2+...+\tg a_n}{n} \cdot \\ \\ \frac{n}{ \frac{1}{\tg a_1} + \frac{1}{\tg a_2} +...+ \frac{1}{\tg a_n} }=\frac{\tg \alpha _{1}+\tg \alpha _{2}+...+\tg \alpha _{n}}{\ctg \alpha _{1}+\ctg \alpha _{2}+...+\ctg\alpha _{n}}> \frac{n \tg a_1}{n} \cdot \frac{n}{ \frac{n}{\tg a_1} } = \\ \\ \\ \tg^{2} \alpha _{1}}\)

[Masita+++]

hm ale z tego co widzę jest wykazane że \(\displaystyle{ \tg^{2} \alpha _{n} \ge \frac{\tg a_1+\tg a_2+...+\tg a_n}{n} \cdot \\}\)

a ma być wykazane że \(\displaystyle{ \tg^{2} \alpha _{n} \ge \frac{\tg \alpha _{1}+\tg \alpha _{2}+...+\tg \alpha _{n}}{\ctg \alpha _{1}+\ctg \alpha _{2}+...+\ctg\alpha _{n}}}\)

nie rozumiem też dlaczego \(\displaystyle{ \\ \frac{n}{ \frac{1}{\tg a_1} + \frac{1}{\tg a_2} +...+ \frac{1}{\tg a_n} }=\frac{\tg \alpha _{1}+\tg \alpha _{2}+...+\tg \alpha _{n}}{\ctg \alpha _{1}+\ctg \alpha _{2}+...+\ctg\alpha _{n}}}\)

Bardzo proszę o wyjaśnienie i z góry dziękuje

[kamil13151]

Źle widzisz, tam jest znak mnożenia na końcu.