Problem w podaniu rozwiązania do zadania.

[Belv]

Witam!
Mam problem ze zrozumieniem zadania. Pochodzi ono z tegorocznej matury próbnej z Operonu.

Zadanie 7
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sin {x}|\cos {x}|=0,25}\) gdzie \(\displaystyle{ x \in \left\langle 0,2 \pi \right\rangle}\)

Rozwiązałem je na dwa przypadki. Nie będę tu szczegółowo rozpisywać, bo szkoda mi czasu.

\(\displaystyle{ \cos \ge 0 \\
x= \frac{1}{12} \pi +k \pi \\
x= \frac{5}{12} \pi + k\pi}\)

\(\displaystyle{ \cos < 0 \\
x= -\frac{1}{12} +k \pi \\
x=- \frac{7}{12} + k \pi}\)

No i teraz żeby było to w podanym przedziale, za \(\displaystyle{ k}\) podstawiałem cyferki.
\(\displaystyle{ \cos \ge 0\ \ x \in \left\{ \frac{ \pi }{12}, \frac{5 \pi }{12}, \frac{13 \pi }{12}, \frac{17 \pi }{12} \right\}}\)
\(\displaystyle{ \cos < 0\ \ x \in \left\{ \frac{7 \pi }{12}, \frac{11 \pi }{12}, \frac{19 \pi }{12}, \frac{23 \pi }{12} \right\}}\)

Rozwiązaniem są \(\displaystyle{ x \in \left\{ \frac{ \pi }{12}, \frac{5 \pi }{12}, \frac{7 \pi }{12}, \frac{11 \pi }{12} \right\}.}\)

Dlaczego pozostałem musiałem wykluczyć, skoro są mniejsze od od \(\displaystyle{ 2 \pi}\) ?
Na pewno jakiś głupi błąd robię, ale nie daje mi to spokoju.

[mortan517]

Ale jak w ogóle dochodzisz do rozwiązania?

Ja na maturze zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ \sin x \cos x = 0,25 \\ 2 \sin x \cos x = 0,5 \\ \sin 2x = 0,5}\)

To jest ten przypadek dla \(\displaystyle{ \cos x>0}\)

I narysowałem obydwie funkcje na jednym wykresie. Tam wszystko widać.

[Belv]

No rozwiązuje dwa przypadki.

Dla
\(\displaystyle{ \cos \ge 0\\
\sin 2x = \frac{1}{2}}\)

oraz
\(\displaystyle{ \cos <0\\
\sin 2x =- \frac{1}{2}}\)

Później podstawiam.

\(\displaystyle{ 2x= \frac{ \pi }{6} +2k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ 2x=( \pi - \frac{ \pi }{6}) + 2k \pi}\)
\(\displaystyle{ 2x=- \frac{ \pi }{6} +2k \pi}\) oraz \(\displaystyle{ 2x=- \frac{7}{6} \pi +2k \pi}\)

[mortan517]

A masz pewność, że te wartości zawierają się w dziedzinie? Odpowiedni przedział z funkcji kosinus. Narysuj sobie na jednym układzie \(\displaystyle{ 2}\) wykresy.

\(\displaystyle{ f(x)=\sin 2x \\ g(x)=\cos x}\)

Oraz \(\displaystyle{ 2}\) linie, a mianowicie \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\).

Zaznacz gdzie kosinus przyjmuje wartości nieujemne i tam szukaj miejsc przecięcia \(\displaystyle{ \sin 2x = 0,5}\), a następnie sprawdź, gdzie przyjmuje wartości ujemne i tam masz \(\displaystyle{ \sin 2x = -0,5}\).

[Belv]

Rzeczywiście, na rysunku się wszystko wyjaśniło. Czyli najlepiej na początku narysować sobie wykres, później rozwiązać te dwa przypadki i dopasować który punkt będzie dobry? Albo sobie dziedzinę wyznaczyć i już nie głowić się z rysunkiem.

[mortan517]

Każdemu lepiej inaczej. Ja preferuję i polecam metodę graficzną, ale to też nie zawsze, zależy od przykładu. Tutaj akurat najlepiej rozpatrzeć \(\displaystyle{ 2}\) przypadki i z wykresu ładnie wszystko widać.