dziwne równanie trygonometryczne

[MaTTematyk]

Które z podanych niżej równań jest równoważne równaniu \(\displaystyle{ \sin \left( x \right) - \cos \left( x \right) = 2}\) , \(\displaystyle{ x \in R}\)
a) \(\displaystyle{ \sin \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \sqrt{3}}\)

b) \(\displaystyle{ \sin \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \sqrt{2}}\)

c) \(\displaystyle{ \sin \left( x - \frac{ \pi }{4} \right) = \sqrt{2}}\)

d) \(\displaystyle{ \sin \left( x - \frac{ \pi }{4} \right) = 1}\)

zbyt bardzo nie wiem jak to ruszyć bo moim zdaniem(na pewno) równanie na górze jest sprzeczne nie rozwiązywałem jeszcze podobnych zadań i ciężko mi jest powiedzieć o co w tym chodzi (a,b,c również jest sprzeczne bo \(\displaystyle{ \sin \left( x \right) \le 1}\) nie ważne jaki \(\displaystyle{ x}\).

[mortan517]

Faktycznie równanie na samej górze i \(\displaystyle{ 3}\) pierwsze są sprzeczne, ale oni pytają o to, które są równoważne, a nie o rozwiązania.

[MaTTematyk]

jak sobie z tym poradzić rozdzielić 2 na jakieś liczby z których znamy funkcje trygonometryczne i co zrobić z tym\(\displaystyle{ \cosx}\) żeby zniknął bawić się w kąty połówkowe czy aż tak bardzo nie kombinować? wzory na sumy funkcji trygonometrycznych się przydadzą?

[mortan517]

Tak, ogólnie przyda ci się \(\displaystyle{ 1}\) wzór:
\(\displaystyle{ \sin (\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta}\)

[MaTTematyk]

czyli odpowiedź C jest prawidłowa?

[mortan517]

Tak.

[Dilectus]

Hmm... Sprzeczne są równania

\(\displaystyle{ \sin \left( x \right) - \cos \left( x \right) = 2}\)

a) \(\displaystyle{ \sin \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \sqrt{3}}\)

b) \(\displaystyle{ \sin \left( x + \frac{ \pi }{4} \right) = \sqrt{2}}\)

c) \(\displaystyle{ \sin \left( x - \frac{ \pi }{4} \right) = \sqrt{2}}\)

A więc są sobie równoważne...

[mortan517]

Na pewno? a jeżeli równania \(\displaystyle{ x^2 = -1 \\ x^2=-3}\) są sprzeczne (w \(\displaystyle{ \RR}\)) to są równoważne?

[Marmat]

Z definicji równania równoważne, to takie równania , które mają równe zbiory rozwiązań.
Zbirem rozwiązań pierwszego równania i równań a,b,c jest zbiór pusty.
Więc są one równoważne.

[Ania221]

A dziedziny? nie muszą też być takie same?

[Marmat]

W definicji nic nie mówi się o dziedzinach.
Ale jeśli chodzi o twoje równania, to dziedziną każdego z nich jest zbiór liczb rzeczywistych.