Wyznaczanie dziedziny funkcji

[szkielek08]

Proszę o pomoc w rozwiazaniu dziedziny danej funkcji
\(\displaystyle{ f(x) = \frac{\arccos (1-x)}{\ln (1- x^{2} }}\)
Załozenia mam takie:
\(\displaystyle{ -1 \le (1-x) \le 1}\) z czego wyszedł mi przedział \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-2\rangle \cup \langle 0,+ \infty )}\)
oraz
\(\displaystyle{ \ln (1- x^{2}) \neq 0}\)
Nie mam pojęcia jak się za to zabrać, a większość ćwiczeniowych zadań polega na rozwiazaniu podobnego logarytmu naturalnego.
Jakby ktoś mógł pomoc w rozwiazaniu tego zadania, to osobie zawdzieczam zaliczenie tej kartkowki )

[kropka+]

A ile to jest \(\displaystyle{ e ^{0}}\) ?
Ponadto to co pod logarytmem musi być dodatnie.

[szkielek08]

czyli za 0 wstawiam \(\displaystyle{ \ln 1}\), skracam logarytmy zostaje mi \(\displaystyle{ 1- x^{2} \neq 1 \rightarrow x \neq 0}\) ??

[kropka+]

Wynik dobry, choć opis nie. To nie jest skracanie logarytmów tylko stwierdzenie, że logarytmy są sobie równe, gdy liczby logarytmowane są równe. Ponadto można od razu -z definicji logarytmu -napisać

\(\displaystyle{ e ^{0} \neq 1-x ^{2} \Rightarrow 1 \neq 1-x ^{2}}\)

[Marmat]

Nie wiem skąd z pierwszej nierówności wyszedł ci taki zbiór rozwiązań.
\(\displaystyle{ -1 \le (1-x) \le 1}\)
jest to równoważne koniunkcji dwóch nierówności:
\(\displaystyle{ -1 \le (1-x) \wedge \ (1-x) \le 1}\)
Rozwiązujemy obie:
\(\displaystyle{ -2 \le (-x)\ \wedge \ (-x) \le 0}\)
\(\displaystyle{ 2 \ge x \ \wedge \ x \ge 0}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ x \in <0\ ,\ 2>}\)
Dalej z definicji logarytmu :
\(\displaystyle{ 1-x^2 > 0}\)
Czyli \(\displaystyle{ x \in (-1 , 1)}\)
Mamy jeszcze mianownik, który nie może być zerem:
\(\displaystyle{ ln(1-x^2) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ ln(1-x^2) \neq ln 1}\)
\(\displaystyle{ 1-x^2 \neq 1}\)
\(\displaystyle{ -x^2 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ x \neq 0}\)
Pomiędzy tymi wszystkimi warunkami jest spójnik logiczny i .
Ostatecznie: \(\displaystyle{ x \in <0,2> \wedge x \in (-1,1) \wedge x \neq 0}\)
Ostatecznie: \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\)
Pozdrawiam.