Długości przyprostokątnych. Problem ze zrozumieniem zadania.

[Belv]

Mam takie zadanie..

Oblicz długość przyprostokątnych trójkąta prostokątnego, jeśli \(\displaystyle{ \alpha}\) jest jednym z kątów ostrych tego trójkąta oraz:
a)\(\displaystyle{ \tg \alpha = \frac{4}{3}}\) , a długość przeciwprostokątnej równa jest \(\displaystyle{ 15\mbox{ cm}}\).

Wiem, że aby rozwiązać to zadanie, trzeba skorzystać z tw. Pitagorasa.
\(\displaystyle{ (4x) ^{2} + (3x) ^{2} = 15 ^{2}}\)

Obliczyć, że pierwszy bok a ma miarę \(\displaystyle{ 4 \cdot x}\), drugi \(\displaystyle{ 3 \cdot x}\).
Na początku gdy przeczytałem to zadnie, to wydawało mi się nielogiczne, ponieważ zawsze myślałem, że mając tg od razu możemy wyczytać długości przyprostokątnych. Jeśli to \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\), to jeden ma \(\displaystyle{ 4}\), a drugi \(\displaystyle{ 3}\). Więc co to jest to \(\displaystyle{ x}\)? Jaki głupi błąd popełniam?

Pozdrawiam.

[marcel112]

no jak masz tego pitagorasa i go rozpisujesz to masz \(\displaystyle{ 16x^2+9x^2=225}\) czyli \(\displaystyle{ x^2=9}\) czyli \(\displaystyle{ x=3}\)(odrucamy \(\displaystyle{ x=-3}\), bo \(\displaystyle{ x>0}\) ) a stąd masz już , że jeden bok ma długość \(\displaystyle{ 4x=4 \cdot 3=12}\) a drugi \(\displaystyle{ 3x=3 \cdot 3=9}\)

\(\displaystyle{ x}\) jest takim współczynnikiem proporcjonalności między tymi bokami, gdyby \(\displaystyle{ x=1}\) to wtedy faktycznie boki miały by długość \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\) ale nie możesz tego założyć wcześniej.

[Belv]

Tak, wiem że tak trzeba rozwiązać i taka jest odpowiedź, ciekawi mnie jedynie czym jest ten x. No bo jeśli rozpisze sobie to na trójkącie, to miałby on przyprostokątne o wartości 4 i 3, a tutaj muszę brać pod uwagę ten współczynnik x. Czy to chodzi o to, że te \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) są tylko stosunkiem przyprostokątnych, a mając już przeciwprostokątną musimy do niej dopasować przyprostokątne? A gdybym nie miał podanej przeciwprostokątnej, mógłbym to rozpisać na trójkącie jak wyżej? Troszkę zagmatwałem.

[marcel112]

nie, to że masz daną przeciwprostokątną niczego nie zmienia. Twój trójkąt jeśli ma stosunek przyprostokątnych \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) to niekoniecznie musi mieć długości przyprostokątnych \(\displaystyle{ 3,4}\) może mieć \(\displaystyle{ \{6,8\}, \{15,20\}, \{30,40\}}\) itd. dlatego potrzebny tutaj jest ten \(\displaystyle{ x}\) chodzi o to, że już uproszczony stosunek ma wartość \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\)