Wzory redukcyjne

[maver144]

Witam, mam mały problem ze zrozumieniem pewnych zagadnień z wyżej wymienionego tematu. Mam nadzieję, że ktoś będzie tak uprzejmy i mi w tym pomoże.

Pierwszą rzeczą są wzory redukcyjne, nauczyciel pokazał nam metodę, dzięki której nie trzeba się ich uczyć na pamięć ( chodzi o sprowadzanie dowolnego kąta do kąta ostrego ), pokaże na konkretnym przykładzie o co mi chodzi i z czym mam problem.

\(\displaystyle{ \sin \left( - \frac{11}{6} \pi \right) = -\sin \left( 1 \frac{5}{6} \pi \right) = -\sin \left( 3 \cdot \frac{ \pi }{2} + \frac{ \pi }{3} \right) = \cos \frac{ \pi }{3} = - \frac{1}{2}}\)

No i teraz pierwszy problem wiem jak dojść do trzeciego przekształcenia, natomiast nie mam pojęcia ile dodać i z czego to wynika. Wiem tylko, że zawsze to będzie \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3},\frac{ \pi }{4}}\) lub \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\) bo te własności kątów znamy, ale nie bardzo wiem kiedy ma być który.


Drugim problemem jest to, że nie wiem jak określić w której ćwiartce znajduje się dana liczba dla przykładu w której ćwiartce leży \(\displaystyle{ \sin \left( - \frac{11}{6} \pi \right)}\) ? ( jak to sobie wizualizować etcetera.? )


Dalej mamy udowadnianie wzorów:

\(\displaystyle{ \sin \left( \pi + \alpha \right) = - \sin \alpha}\)


Wiem, że zajmujemy się lewą stroną i musimy skorzystać z wzorów redukcyjnych z czego wynika:
\(\displaystyle{ L = \sin \left( \pi + \alpha \right) = \sin \pi \cos \alpha + \sin \alpha \cos \pi}\) no ale co dalej ?

No i to w sumie chyba tyle. Liczę na pomoc !

[mortan517]

Popraw post. Umieść wszystkie wyrażenia w kodzie.

Kod: Zaznacz cały

[tex]i tutaj wyrażenie[/tex]

[maver144]

Poprawione.

[mortan517]

Moja propozycja jest taka, abyś zamienił wszystkie kąty na stopnie \(\displaystyle{ (2 \pi = 360^{\circ})}\). Wtedy wszystko lepiej widać.

[maver144]

Na kątach i owszem, natomiast są przykłady w których operujemy na kątach i takie jak ten powyżej. Nauczyciel nie przewiduje zamiany, mamy po prostu umieć...

[mortan517]

Ha ;] Ciekawy nauczyciel.. no ok

Wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}=90^{\circ}}\). Dalej musimy mieć wielokrotność \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) oraz jakiś kąt, więc szukamy ile razy zmieści się \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) i zapisujemy pozostałe. Rozumiesz dlaczego \(\displaystyle{ \sin}\) zmienia się w \(\displaystyle{ \cos ?}\) Czy już wszystko dalej jest jasne?


W której ćwiartce znajduje się kąt \(\displaystyle{ \sin \left( - \frac{11}{6} \pi\right)}\). Funkcja \(\displaystyle{ \sin}\) jest nieparzysta, więc możemy zapisać \(\displaystyle{ -\sin \left( \frac{11}{6} \pi\right)}\).

od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) mamy 1 ćwiartkę
od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\) do \(\displaystyle{ \pi}\) - 2
od \(\displaystyle{ \pi}\) do \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) - 3
od \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\) do \(\displaystyle{ 2 \pi}\) - 4

[maver144]

Dlaczego \(\displaystyle{ \sin}\) zamienia się w \(\displaystyle{ \cos}\) wiem, zależy to od parzystości lub nieparzystości liczby "połówek" jak my to nazwaliśmy ( fachowo od liczby \(\displaystyle{ k}\) ze wzoru \(\displaystyle{ k \cdot \frac{ \pi }{2}}\) ).

Pierwszej części wypowiedzi niestety nie zrozumiałem do końca... Chodzi mi o to, że dla przykładu.
\(\displaystyle{ \sin \frac{11}{6} = \sin 1 \frac{5}{6} = \sin \left( 3 \cdot \frac{ \pi }{2} + ? \right)}\)

Wiem, że potem się to zamieni na cosinus bo trójka jest nieparzysta natomiast nie wiem ile powinienem dodać . Nie mieliśmy żadnej zamiany \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} = 90}\) być może dlatego to do mnie nie trafia.

A co do ćwiartek to skąd mam wiedzieć między którym przedziałem mieści się np. \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{6}}\) akurat ten wiem bo to jest odpowiednik jednej kratki podczas rysowania wykresów funkcji trygonometrycznych więc to chyba będzie pierwsza ćwiartka (dobrze?) . No ale jeśli będę miał \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{7}}\) czy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{5}}\) to już nie jest tak kolorowo..

[kropka+]

W mianowniku jest \(\displaystyle{ 6=2 \cdot 3}\), więc wiadomo, że ten kąt ma być przedstawiony za pomocą

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\)

\(\displaystyle{ 1 \frac{5}{6} \pi =1 \frac{3}{6} \pi + \frac{2}{6} \pi =1 \frac{1}{2} \pi + \frac{1}{3} \pi = \ \frac{3}{2} \pi + \frac{1}{3} \pi =3 \cdot \frac{ \pi }{2}+ \frac{ \pi }{3}}\)

[mortan517]

\(\displaystyle{ \frac{11 \pi}{6} = 3 \cdot \frac{\pi}{2} + x}\)

Proste równanie masz, jeżeli nie intuicyjnie to wyliczasz \(\displaystyle{ x}\).

Skąd masz wiedzieć gdzie należy \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{7}}\)? No to usuń sobie \(\displaystyle{ \pi}\) z tych wszystkich wzorów i połówek i masz

\(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\) należy do którego przedziału:
od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)
od \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) do \(\displaystyle{ 1}\)
od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)
od \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) do \(\displaystyle{ 2}\)

[maver144]

I wszystko stało się jasne, serdeczne dzięki. Jeszcze może mała podpowiedz co do tego przykładu, gdyż wiem jak to robić, natomiast nie wiem jak to zapisać.

\(\displaystyle{ \tg ( \pi + \alpha )= - \ctg \alpha}\)

Ale znamy tylko wzory redukcyjne dla sin i cos, trzeba skorzystać z własności trygonometrycznych\(\displaystyle{ \tg = \frac{\sin }{\cos }}\) natomiast nie wiem jak to się ma do ich stosowania, po zamianie... Stosujemy tylko na liczniku czy jak ?

[mortan517]

\(\displaystyle{ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{\sin \left( \pi + \alpha\right) }{\cos \left( \pi + \alpha\right) }}\)

Jednak tutaj wygodniej korzystać z wykresu.

[Vardamir]

Moja propozycja jest taka, abyś zamienił wszystkie kąty na stopnie \(\displaystyle{ (2 \pi = 360^{\circ})}\). Wtedy wszystko lepiej widać.

Niekoniecznie, przy dużych kątach stopnie są mniej wygodne.

[kropka+]

\(\displaystyle{ \tg ( \pi + \alpha )= - \ctg \alpha}\)

Nieprawda. \(\displaystyle{ \tg( \pi + \alpha )=\tg \alpha}\)

Natomiast \(\displaystyle{ \tg \left( \frac{ \pi }{2}+ \alpha \right)=-\ctg \alpha}\)