Oblicznie wartości kątów

[mortan517]

\(\displaystyle{ - \frac{527}{625}}\)

[Consolidaa]

ok, już obliczyłam dzięki

A jak bdzie z \(\displaystyle{ \tg4 \alpha}\)?

[mortan517]

\(\displaystyle{ \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}}\)

[Consolidaa]

i teraz mam podstawić \(\displaystyle{ 4 \alpha}\) w miejsce \(\displaystyle{ \alpha}\) ?

[mortan517]

Nie. Ty masz wyprowadzić \(\displaystyle{ \tan 4 \alpha}\), więc podstaw sobie \(\displaystyle{ 2\alpha}\):

\(\displaystyle{ \tan 4 \alpha = \frac{2 \tan 2 \alpha}{1 - \tan^2 2 \alpha}}\)

[Consolidaa]

Nie rozumiem tego. Bardzo proszę o rozpisanie. I jeżeli jest to możliwe to o wytłumaczenie jak w ogóle należy wyprowadzać tego typu wzory.

[mortan517]

Patrzysz do tablic ze wzorami, tam widnieje wzór \(\displaystyle{ \tan 2 \alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}}\). Powiedzmy, że trzeba nam wzór na \(\displaystyle{ \tan 4 \alpha}\) więc stosujemy podstawienie przykładowo \(\displaystyle{ \alpha = 2 \beta}\), żeby uzyskać poczwórny argument. Wstawiając, otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \tan 4 \beta = \frac{2 \tan 2 \beta}{1 - \tan^2 2 \beta}}\)

[Consolidaa]

Ok, w liczniku bedzie \(\displaystyle{ 4 \alpha}\) , a w mianowniku jak wyjdzie to 4 \(\displaystyle{ \alpha}\) ?

[mortan517]

Chyba mnie nie rozumiesz, już otrzymaliśmy \(\displaystyle{ \tan 4 \alpha}\). Teraz musisz dalej rozpisywać, aby po prawej stronie były tylko \(\displaystyle{ \tan \alpha}\).

[Consolidaa]

Czyli w całym wyrażeniu mają być \(\displaystyle{ 4 \alpha}\) ? Licznik rozpisałam, natomiast nie wiem jak rozpisać to \(\displaystyle{ \tg ^{2} 2\alpha}\)

[mortan517]

Nie. Patrz co się dzieje jak tutaj już wcześniej rozpisywałaś, np. \(\displaystyle{ \sin 4 \alpha}\)

\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \\
\cos 2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \\
\sin 4 \alpha = 2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha}\)

I to mamy dalej rozpisać, czyli:
\(\displaystyle{ \sin 4 \alpha = 2 \left( \sin 2 \alpha\right) \left( \cos 2 \alpha\right) = 2 \left( 2 \sin \alpha \cos \alpha\right)\left(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \right)}\)

Jak widzisz wyraziliśmy kąt poczwórny za pomocą kąta \(\displaystyle{ \alpha}\).

I to samo musisz zrobić z tangensem.

[Consolidaa]

Chyba faktycznie tego nie rozumiem, może na jutrzejszej lekcji uda mi się coś pojąć, natomiast teraz bardzo proszę o rozpisanie tego wzoru do końca.

[mortan517]

\(\displaystyle{ \tan 4 \alpha = \frac{2 \tan 2 \alpha}{1 - \tan^2 2 \alpha}= \frac{2 \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}}{1 - \left( \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}\right)^2 }}\)

Cały czas korzystam z tego:
\(\displaystyle{ \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}}\)

[Consolidaa]

Bardzo dziękuję za cierpliwość;)

[mortan517]

Cierpliwość towarzyszką mądrości.

Proszę.