rozwiąż równanie, arcsin

[kalwi]

nie mam pomysłu, jak to zrobić, odpowiedzią jest: \(\displaystyle{ x=0}\)

\(\displaystyle{ 2\arcsin x=\arcsin \left( \frac{6}{5}x \right)}\)

[kropka+]

Dziedzina i nałóż sinus na obie strony.

[kalwi]

no to dla tego po lewej \(\displaystyle{ x \in \left\langle -1,1\right\rangle}\), po prawej \(\displaystyle{ x \in \left\langle - \frac{5}{6}, \frac{5}{6} \right\rangle}\), więc częścią wspólną jest to drugie. Po nałożeniu sinusa dojdzie się do czegoś takiego chyba

\(\displaystyle{ \sin\left( 2\arcsin x\right)= \sin\left( \arcsin\left( \frac{6}{5}x \right) \right) \\ \sin\left( 2\arcsin x\right) = \frac{6}{5} x}\)

i teraz co zrobić?

[kropka+]

Po lewej sinus podwojonego kąta i jedynka trygonometryczna.

[kalwi]

no dobra, to coś takiego będzie

\(\displaystyle{ 2\sin\left( \arcsin x\right) \cos\left( \arcsin x\right) =2x \cdot \sqrt{1-x^2}= \frac{6}{5}x \\ x\left( \frac{3}{5}- \sqrt{1-x^2} \right)=0 \Rightarrow x=0 \vee x=- \frac{4}{5} \vee x= \frac{4}{5}}\)

więc są 3 rozwiązania, a powinno być tylko \(\displaystyle{ x=0}\) (to widać po wykresie na wolframie)

[kropka+]

Niech
\(\displaystyle{ \arcsin x= \alpha \Rightarrow \alpha \in \left[ - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right]\\ \\
\arcsin \left( \frac{6}{5}x \right) = \beta =2 \alpha \wedge \beta \in\left[ - \frac{ \pi }{2}, \frac{ \pi }{2} \right] \Rightarrow \alpha \in \left[ - \frac{ \pi }{4}, \frac{ \pi }{4} \right]
\\ \\
x=0,8>\sin \frac{ \pi }{4}= \frac{ \sqrt{2} }{2} \approx 0,71}\)

czyli tych dwóch rozwiązań nie bierzemy pod uwagę.

[kalwi]

cwane. dzięki za pomoc