Równanie trygonometryczne, a dzielenie.

[Arko Polo]

Witam forumowiczów. Mam problem z trygonometrią, mianowicie upraszczam równanie i podczas dzielenia gubią mi się odpowiedzi. Czy mógłby mi ktoś wytłumaczyć co robię źle? Dla przykładu podam jedno równanie:
\(\displaystyle{ 2(\sin x+\cos x)=\tg x+1}\)
\(\displaystyle{ 2(\sin x+\cos x)= \frac{\sin x+ \cos x}{\cos x}}\)
\(\displaystyle{ 2= \frac{1}{\cos x}}\)

[chris_f]

Dzieląc zakładasz sobie po cichu, że to wyrażenie przez które dzielisz jest różne od zera, a to powoduje zgubienie takich właśnie możliwości
Tu nie możesz dzielić przez \(\displaystyle{ \sin x+\cos x}\) tylko wszystko na jedną stronę i wyłączasz przed nawias.
\(\displaystyle{ 2(\sin x+\cos x)= \frac{\sin x+ \cos x}{\cos x}}\)
\(\displaystyle{ 2(\sin x+\cos x)-\frac{\sin x+ \cos x}{\cos x}=0}\)
\(\displaystyle{ (\sin x+\cos x)\left(2-\frac{1}{\cos x}\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=0\vee 2-\frac{1}{\cos x}=0}\)
itd.
Przy dzieleniu giną rozwiązania z pierwszego równania.

[Arko Polo]

A jak poradzić sobie z tym:
\(\displaystyle{ \sin x+ \cos x=0}\)

[chris_f]

Można tradycyjnie
\(\displaystyle{ \sin x=-\cos x}\)
i odczytać z wykresu, a można też np. tak

\(\displaystyle{ \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\cos x=0}\)

\(\displaystyle{ 2\cos\frac{x-\frac{\pi}{2}+x}{2}\cos\frac{x-\frac{\pi}{2}-x}{2}=0}\)

\(\displaystyle{ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=0}\)

\(\displaystyle{ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi}\)