oblicz
-
przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
oblicz
Skorzystajmy ze wzoru https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=33304
\(\displaystyle{ n = 1003, \ \ x = \frac{2\pi}{2007} \\
S = \frac{\sin(1003.5 \frac{2\pi}{2007})}{2 \sin \frac{\pi}{2007}}-\frac{1}{2} = \frac{\sin \pi}{2 \sin \frac{\pi}{2007}}-\frac{1}{2} = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ n = 1003, \ \ x = \frac{2\pi}{2007} \\
S = \frac{\sin(1003.5 \frac{2\pi}{2007})}{2 \sin \frac{\pi}{2007}}-\frac{1}{2} = \frac{\sin \pi}{2 \sin \frac{\pi}{2007}}-\frac{1}{2} = - \frac{1}{2}}\)
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
oblicz
Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ 2\sin \tfrac{x}{2} \cos kx = \sin (k + \tfrac{1}{2})x - \sin (k - \tfrac{1}{2})x\\
\cos kx = \frac{\sin (k +\frac{1}{2})x - \sin (k - \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}}\)
i jak zsumujemy dla \(\displaystyle{ k}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), to się co nieco poredukuje, do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{-\sin \frac{x}{2} + \sin (n + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}}\)
dalej podstawiamy konkretne wartości itd...
Oczywiście jest to mniej oczywiste niż skorzystanie ze wzorów Eulera, ale bardziej elementarne... no i bardziej przekonujące niż wyjęcie z... hmm... 'powietrza'... gotowego wzoru, popartego dowodem indukcyjnym.
[ Dodano: 26 Czerwca 2007, 17:23 ]
(Wykopalisk ciąg dalszy
)
Może spróbujmy nieco inaczej:
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{2007} = \cos \frac{-2k\pi}{2007} = \cos \frac{(4014 - 2k)\pi}{2007}}\)
to:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{1003}\cos \frac{2k\pi}{2007} = \frac{\sum\limits_{k = 0}^{2006}\cos \frac{2k\pi}{2007} - \cos 0}{2} = \frac{\mathbf{Re}\left\{\sum\limits_{k = 0}^{2006}e^{2k\pi i/2007}\right\} - 1}{2} =\\
= \frac{1}{2}\left(\mathbf{Re}\left\{\frac{e^{2\pi i} - 1}{e^{2\pi i/2007} - 1}\right\} - 1\right) = \frac{\mathbf{Re}\{0\} - 1}{2} = -\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ 2\sin \tfrac{x}{2} \cos kx = \sin (k + \tfrac{1}{2})x - \sin (k - \tfrac{1}{2})x\\
\cos kx = \frac{\sin (k +\frac{1}{2})x - \sin (k - \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}}\)
i jak zsumujemy dla \(\displaystyle{ k}\) od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ n}\), to się co nieco poredukuje, do postaci:
\(\displaystyle{ \frac{-\sin \frac{x}{2} + \sin (n + \frac{1}{2})x}{2\sin \frac{x}{2}}}\)
dalej podstawiamy konkretne wartości itd...
Oczywiście jest to mniej oczywiste niż skorzystanie ze wzorów Eulera, ale bardziej elementarne... no i bardziej przekonujące niż wyjęcie z... hmm... 'powietrza'... gotowego wzoru, popartego dowodem indukcyjnym.
[ Dodano: 26 Czerwca 2007, 17:23 ]
(Wykopalisk ciąg dalszy
)Może spróbujmy nieco inaczej:
Ponieważ:
\(\displaystyle{ \cos \frac{2k\pi}{2007} = \cos \frac{-2k\pi}{2007} = \cos \frac{(4014 - 2k)\pi}{2007}}\)
to:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 1}^{1003}\cos \frac{2k\pi}{2007} = \frac{\sum\limits_{k = 0}^{2006}\cos \frac{2k\pi}{2007} - \cos 0}{2} = \frac{\mathbf{Re}\left\{\sum\limits_{k = 0}^{2006}e^{2k\pi i/2007}\right\} - 1}{2} =\\
= \frac{1}{2}\left(\mathbf{Re}\left\{\frac{e^{2\pi i} - 1}{e^{2\pi i/2007} - 1}\right\} - 1\right) = \frac{\mathbf{Re}\{0\} - 1}{2} = -\frac{1}{2}}\)
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11404
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
oblicz
pikne! duze brawa za oryginalnosc, ja tutaj tez dodam interpret acje geometryczna...wektorowa. w kolo jednostkowe o srodku O (0,0) wpiszmy dwa tys siedem - kat foremny tak by punkt (1,0) był jednym z wierzcholkow, ktore zkolei to sa koncami wektorow o poczatku w O, suma tych wszystkich wekt jest zerowym wektorem..., tj suma wektorow roznych od w= [1,0] wynosi [-1,0]. Zaden z nich nie lezy na osi x. za s wektory z gornej polplaszcz y>0 sa symetryczne do ytch z dolnej ,tj maja te same skladowe wspolrz, x-owe . stad juz wniosek, ze suma x-owych skladowych wektorow z gornej polpl. jest rowna -0,5. Alez taz to jest przeciez nasza szukana suma. ckd.