Równanie trygonometryczne z całym i połówkowym kątem

MaTTematyk · Post autor: **MaTTematyk** » 27 gru 2013, o 20:48

Próbuje rozwiązać pewne równanie ale nie daję rady
Otóż:
\(\displaystyle{ \sqrt{6} - \sqrt{2} = 2\sin \left( \alpha \right) \cdot \sin \left( \frac{1}{2} \alpha \right)}\)
Co o tym sądzicie jest do rozwiązania? Zmieniłem ten sinus całego na połówkowy użyłem jedynki przemnożyłem, wyciągałem \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) przed nawias z lewej strony, ale do wyniku mnie to nie przybliżyło .
Proszę o pomoc. Da się w ogóle rozwiązać to równanie?

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 27 gru 2013, o 21:08

\(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4}=\sin{15}}\) może to coś pomoże

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2013, o 21:13

Znając rozwiązanie (\(\displaystyle{ \alpha =15^0}\)) trzeba by zrobić kąt 30.

MaTTematyk · Post autor: **MaTTematyk** » 27 gru 2013, o 21:16

ale w ogóle nie wiem skąd się wziął ten \(\displaystyle{ \sin (15)}\) mógłby to ktoś wytłumaczyć dokładniej w żaden sposób nie mogę do tego dojść.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2013, o 21:18

\(\displaystyle{ \sqrt 6 -\sqrt 2}\) to podpowiada, sprawdziłem, że gra.

Ale są też inne rozwiązania.

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 27 gru 2013, o 21:18

ja wzięłam z tablic

MaTTematyk · Post autor: **MaTTematyk** » 27 gru 2013, o 21:23

w równaniu gdy podstawie za \(\displaystyle{ \sin \left( \frac{ \alpha }{2} \right)}\) otrzymaną wartość to niesety chyba nie gra bo \(\displaystyle{ L \neq P}\). To chyba nie pomoże w tym Wymyślił ktoś coś innego ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2013, o 21:26

Tak znalazłem u siebie literówkę - 15 nie działa - patrzę dalej.

[edit]21.44 niestety nic nie wypatrzyłem.
Skąd masz to równanie ?

MaTTematyk · Post autor: **MaTTematyk** » 27 gru 2013, o 22:07

Może niech ktoś spróbuje ze wzoru na połówkę kąta mnie się nie udało.
Bo ogólnie całe zadanie polegało na tym aby znaleźć bryły utworzonej przez wokół jego dłuższej przekątnej do objętości bryły powstałej przez obrót wokół jego ,
więc obliczałem to tak obrót wokół przekątnej:
\(\displaystyle{ d}\) -krótsza przekątna, \(\displaystyle{ f}\) -dłuższa przekątna, \(\displaystyle{ \alpha}\) = kąt ostry
\(\displaystyle{ V _{p} = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r ^{2} \cdot H}\) ale \(\displaystyle{ r = \frac{1}{2} d}\) więc \(\displaystyle{ r^{2} = \frac{1}{4} d^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ H = \frac{1}{2} \cdot f}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{2}d \cdot f = P _{r} = a^{2} \cdot \sin \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ d = 2a \cdot \sin \left( \frac{\alpha}{2} \right)}\) ( bo trójkąt utworzony z przekątnych i kąt jest połową \(\displaystyle{ \alpha}\) bo przekątna jest także dwusieczną w i wyszlo to z funkcji trygonometrycznych) co po podstawieniu dało \(\displaystyle{ V _{p}= \frac{ \pi \cdot a^{3} \cdot \sin \alpha \cdot \sin \frac{ \alpha }{2}}{3}}\) a objętość bryły utworzonej przez obrót rombu wokół (jest to walec o wysokości równej długości boku i promieniu podstawy równym także długości boku) czyli \(\displaystyle{ V _{w} = \pi a^{3}}\) po podstawieniu wychodzi \(\displaystyle{ \frac{V _{p} }{V _{w} } = \frac{ \sin \alpha \cdot \sin \frac{ \alpha }{2}}{3}}\).

edit: ZŁE ROZWIĄZANIE wprowadzało w błąd

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2013, o 22:34

Wprowadziłem oznaczenia \(\displaystyle{ 2a;2b}\) - krótsza i dłuższa przekątna.

Stosunek objętości \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{6b}}\) stąd kąt ostry to \(\displaystyle{ 30^0}\)

MaTTematyk · Post autor: **MaTTematyk** » 27 gru 2013, o 22:47

nie nadążyłem ze Pana rozumowaniem ;P skąd wziął się ten wzór ? mój sposób rozwiązania zawierał błąd? i po tym wzorze mozna wnioskować ze kąt \(\displaystyle{ \alpha = 30}\)?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 27 gru 2013, o 22:53

Wygodniej jest zrobić od początku.
Oznaczenia podałem.

Względem przekątnej \(\displaystyle{ V_p=\frac{2}{3}\pi a^2 b}\)

Względem (\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2}}\)) boku \(\displaystyle{ V_b=\pi h^2 \sqrt{a^2+b^2}}\) (h wyznaczyć z pola w zależności od (a) i (b)).

MaTTematyk · Post autor: **MaTTematyk** » 27 gru 2013, o 23:25

Doszedłem do Pana wyniku, ale w tym wypadku mam dwie niewiadome co z nimi zrobić?

EDIT: dziękuję wyszło mi zauważyłem wzór na tg połówki kąta i go rozpisałem ze wzoru i wyszło mi że \(\displaystyle{ \cos \alpha = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
DZIEKUJĘ

Ania221 · Post autor: **Ania221** » 28 gru 2013, o 09:21

Do stosunku objętości też doszłam.
Ale co właściwie jest dane w tym zadaniu, a co jest szukane?
Domyślam się, że szukany jest kąt ostry rombu, jednak w tej chwili nigdzie w wątku nie jest to powiedziane

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 28 gru 2013, o 09:35

a coś takiego?
\(\displaystyle{ \sqrt{6} - \sqrt{2} = 2\sin \alpha \cos \frac{\alpha}{2}\\
\sqrt{6} - \sqrt{2} = 4\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\\
\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\\
\sin 15^{\circ} = \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}\\}\)

cokolwiek nam to daje ?