Ciąg geometryczny z funkcji trygometrycznych

[sWm]

1. Dla jakich wartości \(\displaystyle{ x}\) trzy liczby : \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\)\(\displaystyle{ \sin x \,\ \cos x \,\ \tg x}\) ,
wzięte w tej kolejności tworzą ciąg geometryczny?

\(\displaystyle{ x}\) to nasze Alfa.

probuje to jakos rozpisac, w sensie zeby obliczyc iloraz ciagu ale no nie mam pomyslu.
Jakieś pomysły?

[rtuszyns]

Mamy dla ciągu geometrycznego:
\(\displaystyle{ \frac{\cos x}{\frac{1}{6}\sin x}=\frac{\tan x}{\cos x}}\)
Teraz tylko przekształcić i rozwiązać równanie trygonometryczne.

[sWm]

czyli tak jakby wyraz 2 przez 1 i 3 przez 2 daje nam ten iloraz q i wtedy mam wartości tego X?

[rtuszyns]

czyli tak jakby wyraz 2 przez 1 i 3 przez 2 daje nam ten iloraz q i wtedy mam wartości tego X?

Z tym problemem u większości uczniów się spotykam. Mianowicie brak podstaw, tych najbardziej pierwszych.
Pytanie do Ciebie sWm: Jak definiujemy iloraz \(\displaystyle{ q}\) dla ciągu geometrycznego?

[sWm]

Jak definiujemy iloraz \(\displaystyle{ q}\) dla ciągu geometrycznego?

No, jeżeli wyraz ciagu pomnożymy przez ten iloraz to dostaniemy nastepny wyraz ciągu geometrycznego.

a jeśli rozpiszemy tak jak mi napisałeś, to mamy po wymnożeniu na krzyż własność ciągu geometrycznego.
a jeśli podzielimy drugi wyraz przez pierwszy i trzeci przez drugi w tym wypadku to wyjdzie nam ten iloraz

[rtuszyns]

Ilorazem \(\displaystyle{ q}\) ciągu geometrycznego \(\displaystyle{ (a_n)}\) nazywamy stosunek wyrazu \(\displaystyle{ a_{i+1}}\) do wyrazu \(\displaystyle{ a_i}\), gdzie \(\displaystyle{ i \ge 1}\), czyli
\(\displaystyle{ q=\frac{a_{i+1}}{a_i}}\)