Trygonometria w rozwiązywaniu r. kwadratowych z parametrem.

[at_new]

Nie mogę rozwiązać zadań:

1.) Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha , \ \ \alpha \in \left\langle - \frac{ \pi }{2} ; \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\) równanie

\(\displaystyle{ (2\sin \alpha - 1)x^2-2x+\sin \alpha =0}\)

ma dwa pierwiastki, których suma odwrotności jest równa \(\displaystyle{ 4 \cos \alpha}\)

2.) dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ \alpha}\) funkcja określona wzorem:

\(\displaystyle{ f(x) =x^2 – \left( 4 \sqrt{ 2 \cos \alpha } \right) x +4 \sin 2 \alpha}\)

ma najmniejszą wartość równą zero ?

[Tomasz Rużycki]

Pisz tematy, mówiące, czego można się 'spodziewać' po Twoich wątkach.... Radzę poprawić oznaczenia, znacznie zwiększy to czytelność Twojego posta - polecam latexa....

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Zlodiej]

AD 2.
\(\displaystyle{ f(x)=x^2 - (4\cdot \sqrt{2\cos\alpha})x +4\cdot \sin(2\alpha)}\)

Aby równanie miało najmniejszą wartość równą 0 muszą zachodzić 2 warunki.
Delta musi być równa 0 oraz współczynnik przy x2 musi być liczbą dodatnią.

\(\displaystyle{ 16\cdot 2\cos\alpha-16\cdot \sin(2\alpha)=0}\)

Dzielimy przez 16, następnie korzystamy ze wzoru na sinus kąta podwójnego, następnie znowu dzielimy przez 2.

\(\displaystyle{ \cos\alpha - \cos\alpha\cdot \sin\alpha=0}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha\cdot (1-\sin\alpha)=0}\)

\(\displaystyle{ \cos\alpha=0}\) lub \(\displaystyle{ \sin\alpha=1}\)

To już łatwo policzyć ...

[Rogal]

1.) Równanie:

\(\displaystyle{ \left( 2\sin \alpha - 1 \right) x^{2} -2x +\sin \alpha = 0 ;}\) : \(\displaystyle{ \alpha \in}\)
Badamy równanie kwadratowe. Ma mieć dwa pierwiastki rzeczywiste, więc delta musi być większa od \(\displaystyle{ 0}\). Sprawdzamy ją:

\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 4 \left( 2\sin \alpha-1 \right) \cdot \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 4 - 8\sin ^{2}\alpha + 4\sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ \Delta > 0 \Leftrightarrow -8\sin ^{2}\alpha + 4\sin \alpha+4 > 0}\)

Musimy rozpatrzyć teraz drugie równanie kwadratowe. Obliczamy deltą i sprawdzamy dla jakich alfa, funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Okazuje się, że:

\(\displaystyle{ \Delta > 0 \Leftrightarrow \alpha \in \left( -\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2} \right)}\)
I teraz musimy rozpatrzyć drugie obostrzenie zadania:

\(\displaystyle{ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} = 4\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=4\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{-b}{c} = 4\cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{\sin \alpha} = 4\cos \alpha; \: \sin \alpha \neq 0 \Rightarrow \alpha \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 2 = 4\sin \alpha\cos \alpha /:2}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \alpha\cos \alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ \sin 2\alpha = 1}\)

\(\displaystyle{ 2\alpha = \frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{4}}\)

I koniec, dla takiego alfa spełnione są warunki zadania.

2.) Tutaj sprawa podobna. Wiemy, że funkcja ma najmniejszą wartość 0, czyli jedno miejsce zerowe, wtedy, kiedy delta jest równa 0. Obliczamy:

\(\displaystyle{ x^{2} - 4\sqrt{2\cos \alpha}x+4\sin ^{2}\alpha = 0 \\ \Delta = 0 \Leftrightarrow \left( 4\sqrt{2\cos \alpha} \right) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4\sin ^{2}\alpha = 0 \\ 32\cos \alpha - 16\sin ^{2}\alpha = 0 \\ 2\cos \alpha - \sin ^{2}\alpha = 0 \\ 2\cos \alpha - 1 + \cos ^{2}\alpha = 0 \\ \cos ^{2}\alpha +2\cos \alpha -1 = 0}\)

I teraz po obliczeniu pierwiastek jeden wychodzi ujemny, więc go odrzucamy, a drugi jest poszukiwaną wartością:

\(\displaystyle{ \alpha = \arccos \left( \sqrt{2} -1 \right)}\)

[opti]

Przepraszam za archeologię w temacie, ale nurtuje mnie jak rozwiązać deltę, czyli warunek, żeby w ogóle istniały 2 pierwiastki w tym równaniu. Tak jak napisał Rogal, będzie to:

\(\displaystyle{ -8\sin ^{2}\alpha + 4\sin \alpha+4 > 0}\)

Można obliczać w sposób "tradycyjny", tj. podstawić za sinusa \(\displaystyle{ t}\), i potem zobaczyć jaka wyjdzie z tego delta?

[loitzl9006]

Można tak obliczać z tym podstawianiem \(\displaystyle{ t}\). Zobaczyć jaka będzie delta z tego, narysować wykres, odczytać przedział do którego należy \(\displaystyle{ t}\), a potem powrócić do \(\displaystyle{ \sin \alpha}\). Nie zapomnij o tym, że \(\displaystyle{ t}\) nie może być większe niż \(\displaystyle{ 1}\) i mniejsze niż \(\displaystyle{ -1}\).

[opti]

Dokładnie o to mi chodziło. A co powiesz na taką nierówność:

\(\displaystyle{ \sin 2x > \sin x}\)

\(\displaystyle{ \sin x (2 \cos x - 1) > 0}\)

Tu mamy już dwie zmienne, z którymi nie wiem co zrobić...

[loitzl9006]

Wyrażenie

\(\displaystyle{ \sin x (2 \cos x - 1)}\)

jest większe od zera wtedy, gdy

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x > 0 \\ 2 \cos x -1>0 \end{cases} \vee \ \ \ \ \begin{cases} \sin x < 0 \\ 2 \cos x -1<0 \end{cases}}\)

[opti]

Teraz wszystko rozumiem, dziękuje Ci bardzo za pomoc!

[Orion94]

Czy w podpunkcie pierwszym nie powinno być \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\) ?? Czy muszę sprawdzić dziedzinę ze wzorów Viete'a \(\displaystyle{ x_1x_2 \neq 0}\) ?

[loitzl9006]

W sumie tak, dwa pierwiastki jest podane (nie ma informacji że mają być to różne pierwiastki) więc \(\displaystyle{ \Delta \ge 0}\). Przy warunku \(\displaystyle{ x_1x_2 \neq 0}\) trzeba sprawdzić dziedzinę, bo mianownik czyli \(\displaystyle{ 2\sin \alpha - 1}\) może być zerem. No chyba że wcześniej rozważyłeś przypadek że funkcja po lewej jest liniowa (czyli współczynnik przed \(\displaystyle{ x^2}\) jest równy \(\displaystyle{ 0}\)) - to wtedy już nie trzeba.

[Orion94]

Nie ma możliwości przyznania "pomógł", dlatego będzie tylko dziękuję.