Zbiór wszystkich wartości dla których równanie...

[MaTTematyk]

Podaj zbiór wszystkich wartości parametru rzeczywistego m, dla których równanie \(\displaystyle{ 1 + \sin \left( 2x \right) = m \left( \sin \left( x \right) + \cos \left( x \right) \right)}\) ma w przedziale\(\displaystyle{ \left( \pi ,2 \pi \right)}\) nie więcej niż dwa rozwiązania.
Moim zdaniem \(\displaystyle{ m \in R}\) bo nie mam po co wykluczać żadnego m bo to równanie nie bedzie miało nigdy 3 rozwiązań. Oczywiście doszedłem do tego po podzieleniu obu stron przez nawias po prawej stronie i ustaleniu ze \(\displaystyle{ \sin \left( x \right) \neq \cos \left( x \right)}\). Czy myślę dobrze?

[piasek101]

To równanie (rozpisać jedynkę) ma (bez względu na \(\displaystyle{ m}\)) jedno rozwiązanie w tym przedziale.

A istnieją takie (m), że ,,doskakują" inne dwa w zadanym przedziale.

[MaTTematyk]

po rozpisaniu jedynki i podzieleniu przez nawias po prawej stronie i uporządkowaniu wychodzi mi że \(\displaystyle{ m = sin(x) + cos(x)}\) dla jekiego m to rownanie ma więcej niż 2 rozwiązania?(w podanym przedziale? istnieje takie?)

[piasek101]

Nie możesz podzielić przez nawias, a powinieneś wyłączyć go przed wszystko.

[MaTTematyk]

bo przez to dzielenie traciłem jedno rozwiązanie rzeczywiście po przekształceniu wychodzi mi \(\displaystyle{ (\sin (x) +\cos (x))(\sin (x) + \cos (x) - m) = 0}\) czyli \(\displaystyle{ \sin (x) + \cos (x) = 0 v \sin (x) + \cos (x) = m}\) skoro tak to wychodzi mi że \(\displaystyle{ m \in (- \infty , \sqrt{2}) \cup (-1,+ \infty )}\). To jest dobry wynik ?

[piasek101]

Robiłem graficznie i dostałem, że dla \(\displaystyle{ m\in(-\sqrt 2; -1)}\) jest trzy rozwiązania.

[MaTTematyk]

Dziękuję za pomoc! i za niepodanie odpowiedzi na samym początku