Rozwiąż równanie trygonometryczne

[at_new]

Mam kłopoy z zadaniem:
oblicz sumę wszystkich pierwiastków równania:
cos^2 (x+ pi/6) + cos^2 (x-pi/6) = 3/2
które należą do przedziału
Z góry dzięki

[Tomasz Rużycki]

Pisz regulaminowe tematy.

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Rogal]

\(\displaystyle{ \large cos^{2}(x+\frac{\pi}{6})+cos^{2}(x-\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{2} \\ cos^{2}((x+\frac{\pi}{6})+1-sin^{2}((x-\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{2} \\ cos^{2}(x+\frac{\pi}{6}) - sin^{2}(x-\frac{\pi}{6})= \frac{1}{2} \\ cos(x+\frac{\pi}{6} + x-\frac{\pi}{6})cos(x+\frac{\pi}{6}-x+\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \\ cos2xcos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \\ cos2x*\frac{1}{2} = \frac{1}{2} / *2 \\ cos2x = 1}\)

Teraz już chyba wyznaczysz takie x...

[Zlodiej]

Mi wyszło coś innego ...

\(\displaystyle{ \cos^2 (x+\frac{\pi}{6})+\cos^2 (x-\frac{\pi}{6})=\frac{3}{2}}\)

Korzystając we wzorów na sume i różnice kątów w cosiunusie mamy:

\(\displaystyle{ (\cos x \cos{\frac{\pi}{6}}-\sin x\cdot \sin \frac{\pi}{6})^2+(\cos x \cos{\frac{\pi}{6}}+\sin x\cdot \sin \frac{\pi}{6})^2=\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{3}{2}\cos^2 x+\frac{1}{2}\sin^2 x =\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos^2 x + \frac{1}{2}(\cos^2 x +\sin^2 x) =\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ \cos x =1}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=-1}\)

[Andix]

racja!!

[Rogal]

Czy ja wiem, czy inaczej? Cos2x = 1 i cosx = 1, to ten sam kąt 0. Co do wartości cosx = -1, to w tym przedziale jest tylko jeden taki kąt: pi. Wstawiając je jednak do równania, to coś nie chce wyjść... Ja stosowałem wzór na różnicę kwadratów cosinusa i sinusa.
Ale co się okazuje? Wstawiając do tego równania x = 0, też się nie zgadza ;(. Czyżbyśmy się obaj mylili?

[Zlodiej]

No w sumie nie to samo ...

cosx=1 dla kąta 90 a nie 0.

[Tomasz Rużycki]

...

\(\displaystyle{ \cos(\frac{\pi}{2})=0}\)
\(\displaystyle{ \cos(0)=1}\)

...

Pozdrawiam,
--
Tomasz Rużycki

[Zlodiej]

Racja :/

\(\displaystyle{ \cos x =1}\) lub \(\displaystyle{ \cos x=-1}\)
\(\displaystyle{ x=2\cdot k\cdot \pi}\) lub \(\displaystyle{ x=\pi + 2\cdot k\cdot \pi}\) i k - liczba całkowita

Skoro x należy do rpzedziału \(\displaystyle{ }\) Mamy następujące rozwiazania:
\(\displaystyle{ x=0^o}\) lub \(\displaystyle{ x=360^o}\) lub \(\displaystyle{ x=180^o}\)

[Rogal]

Doszliśmy do konsensusu...