Kąt wymierny lub niewymierny?

[MaTTematyk]

\(\displaystyle{ \cos ( \pi x)= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ x}\) jest wymierne czy niewymierne?
Nie wiem jak się zabrać za to zadanie intuicja podpowiada mi, że \(\displaystyle{ x}\) jest wymierne, ale mogę się mylić i nie mam żadnych podstaw aby tak twierdzić. Proszę o wskazówki i pomoc.

[kalmor]

Z czego skorzystac w tym zadaniu?-- 27 lis 2016, o 23:17 --Z wzorow na krotnosc cos pewnie , ktos pomoze?

[Lider_M]

Niewymierne.

Szkic przykładowego uzasadnienia.

Rozważmy liczbę
\(\displaystyle{ \xi=\cos\pi x+i\sin\pi x}\). Oczywiście \(\displaystyle{ \sin\pi x=\pm\frac{2\sqrt{2}}{3}}\).
Gdyby \(\displaystyle{ x}\) był wymierny, to istniałaby taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), że
\(\displaystyle{ \xi^n=1}\), czyli
\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{3}\pm i\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^n=1}\), więc
\(\displaystyle{ (1\pm 2\sqrt{2}i)^n=3^n}\), teraz uzasadniając, że część urojona lewej strony zawsze będzie niezerowa, dojdziemy do sprzeczności.

[kalmor]

Dzieki; a jest jakis sposob zeby uzasadnic ze \(\displaystyle{ \arctg\frac13}\) jest niewymierny?

-- 27 lis 2016, o 23:46 --

Gdyby \(\displaystyle{ x}\) był wymierny, to istniałaby taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), że
\(\displaystyle{ \xi^n=1}\), uzasadnisz to?

[Lider_M]

Gdyby \(\displaystyle{ x}\) był wymierny, to istniałaby taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), że
\(\displaystyle{ \xi^n=1}\), uzasadnisz to?

Spróbuj sam to uzasadnić.

[kalmor]

Znalazłem coś takiego jak Wielomiany Czebyszewa. Tylko \(\displaystyle{ x}\) jest tu równy \(\displaystyle{ \frac13}\), a tam musi być albo większy równy \(\displaystyle{ 1}\) albo mniejszy równy \(\displaystyle{ -1}\).

[Lider_M]

Nie tędy droga.


Zapisz \(\displaystyle{ x}\) w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych, plus skorzystaj ze wzoru de Moivre'a.

[Richard del Ferro]

Lider_M, czy mógłbyś wyjaśnić ten krok
Gdyby \(\displaystyle{ x}\) był wymierny, to istniałaby taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ n}\), że
\(\displaystyle{ \xi^n=1}\), uzasadnisz to?
Nie za bardzo rozumiem powiązanie argumentu tych funkcji trygonometrycznych do tego

Według mnie to ma sens wtedy gdy \(\displaystyle{ \xi=1}\)
Czyli \(\displaystyle{ x = 2k}\),gdzie \(\displaystyle{ k}\) należy do całkowitych.

Czyli zakładamy, że \(\displaystyle{ x}\) jest wymierny, wiec jaki w tym sens skoro dowodzimy, że nie jest?
Z tego wynika, że właśnie \(\displaystyle{ x}\)nie jest równy \(\displaystyle{ 2k}\).

[Lider_M]

Dowodzimy nie wprost.

Gdyby \(\displaystyle{ x}\) był wymierny, to byłby w postaci \(\displaystyle{ x=\frac{p}{q}}\) dla pewnych liczb całkowitych dodatnich \(\displaystyle{ p, q}\) (dodatniość \(\displaystyle{ p, q}\) trzeba jeszcze trochę uzasadnić), wtedy \(\displaystyle{ \xi^{2q}=1}\) (ze wzoru de Moivre'a).

Potem warto spojrzeć na ten temat: 414303.htm

[timon92]

proszę moderatora o zerknięcie na zadanie 12 stąd ... m/68-1.pdf a następnie o usunięcie tego wątku!