Kilka zadań z tożsamościami trygonometrycznymi.

[Foqusonik]

Witam.
Chciałbym uzyskać pomoc w kilku zadaniach z tożsamościami trygonometrycznymi. Byłbym wdzięczny za przystępne ich wytłumaczenie.

Zadanie 1

Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi. Podaj konieczne założenia.

a) \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha +\tg \alpha }{\sin \alpha }=1+ \frac{1}{\cos \alpha }}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{\tg \alpha \cdot (1+\ctg ^{2} \alpha )}{1+\tg ^{2} \alpha } =\ctg \alpha}\)

c) \(\displaystyle{ \cos \alpha +\cos \alpha \cdot \ctg ^{2} \alpha= \frac{\ctg \alpha }{\sin \alpha }}\)

d) \(\displaystyle{ \cos \alpha ( \frac{1}{\cos \alpha }-\cos \alpha)=\sin ^{2} \alpha}\)

e) \(\displaystyle{ \frac{1}{1-\sin \alpha } + \frac{1}{1+\sin \alpha } = \frac{2}{\cos ^{2} \alpha }}\)

f) \(\displaystyle{ \frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha } + \frac{\cos \alpha }{1-\sin \alpha } = \frac{2}{\cos \alpha }}\)

g) \(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \ctg \alpha }{\sin \alpha \cdot \cos \alpha } = \frac{1}{\cos \alpha } + \frac{1}{\sin ^{2} \alpha }}\)

Z góry dziękuję za wszelką pomoc i pozdrawiam wszystkich.

[mmoonniiaa]

a) zapisz tangens jako iloraz sinusa i cosinusa, następnie w liczniku sprowadź do wspólnego mianownika - pokaż obliczenia, jeżeli nie wiesz, co dalej
b) zapisz jedynkę w postaci iloczynu tangensa i cotangensa

[kalwi]

a) w czym tu problem?...
c) wyciągnij cosinusa przed nawias, zapisz cotanges jako iloraz cosinusa i sinusa, sprowadź do wspólnego mianownika i stąd już powinno być oczywiste
d) to co jest nawiasie sprowadź do wspólnego mianownika, potem skorzystaj z jedynki trygonometrycznej
e) sprowadź do wspólnego mianownika
f) sprowadź do wspólnego mianownika, zredukuj
g) rozbij to na 2 ułamki, zamień cotangens na iloraz cosinusa i sinusa, i to co się da poskracaj

[Foqusonik]

Jeszcze jakbyście mogli powiedzieć, której strony równania tyczą się Wasze wskazówki to byłoby bosko.

Dzięki za zainteresowanie.

[kalwi]

wszystko z lewej. Musisz przekształcić lewą stronę w taki sposób, aby dojść do wyrażenia z prawej (albo dojść do takiej postaci, która jednoznacznie zaprzeczy tożsamości). Czyli krótko mówiąc, prawej strony równania nie tykasz w ogóle.

[Foqusonik]

Rozumiem, natomiast w szkole nauczyciel mówił nam, by sobie wybierać stronę, z którą da się coś zrobić, która da nam większe możliwości, jeśli chodzi o przekształcenia.

I jeszcze pytanie odnośnie sprowadzania. Czy dobrze sprowadziłem poniższe działanie do wspólnego mianownika:

\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos \alpha } - \frac{\cos \alpha }{1} = \frac{1}{\cos \alpha } - \frac{\cos ^{2} \alpha}{\cos \alpha }}\)

[kalwi]

no i Twój nauczyciel powiedział dobrze, ale w każdym z tych przykładów lewa strona jest wygodniejsza (przynajmniej dla mnie).
Tak, dobrze. Właściwie to wspólnym mianownikiem będzie, jak wrzucisz wyrażenia z licznika na jedną kreskę, no ale to już mniejsza z tym