Równanie trygonometryczne

[raitoningu]

Równanie \(\displaystyle{ \sin ^{4}(x)+\cos ^{4}(x) = a}\) ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy
\(\displaystyle{ a=}\)?

jak to zrobić?

i jeszcze to obliczyc:

\(\displaystyle{ \sin \frac{ \pi }{8} \cdot \cos \frac{ \pi }{8}}\)

[kalwi]

niemalże identyczne zadanie tu:
351385.htm
musisz policzyć, jaki ma zbiór wartości \(\displaystyle{ \sin ^{4}(x)+\cos ^{4}(x)}\)

-- 5 gru 2013, o 20:41 --

co do drugiego, to można to policzyć ze wzoru na sinus podwójnego kąta, tj
\(\displaystyle{ \sin2x = 2 \sin x \cos x}\)
ten wzór jest w tablicach (połowa strony 15)
... tyczne.pdf

[raitoningu]

\(\displaystyle{ ( \sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 -2 \sin ^2 x \cos ^2 x= 1- \sin 2x \cdot \cos x \cdot \sin x = 1- \frac{\sin ^2 2x}{2}}\)

nie rozumiem tego momentu \(\displaystyle{ 2 \sin ^2 x \cos ^2 x}\) "przekształconego na" \(\displaystyle{ \sin 2x \cdot \cos x \cdot \sin x}\)

[kalwi]

\(\displaystyle{ 2 \sin^2 x \cos^2 x =\left( 2 \cdot \sin x \cdot \cos x\right) \cdot \sin x \cdot \cos x}\)
i patrzysz na ten wzór co napisałem post wyżej

[raitoningu]

ok czyli wychodzi
\(\displaystyle{ 1- \frac{\sin ^2 2x}{2}}\)

i jak okreslic zbior wartosci jak jest
- czyli "odbijamy o os \(\displaystyle{ ox}\)" i przesuwamy o \(\displaystyle{ 1}\) do gory

[kalwi]

nie, rysujesz tego wykresu. musisz podstawić wartości graniczne, jakie przyjmuje sinus. zauważ, że
\(\displaystyle{ \sin ^2 2x}\) przyjmuje wartości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\)

[raitoningu]

aa sry jeszcze raz
jest do kwadratu czyli tylko to co nad osia ox to bdz zbior wartosci \(\displaystyle{ \left\langle 0;\frac12 \right\rangle}\) bo przed \(\displaystyle{ \sin}\) jest \(\displaystyle{ \frac12}\) i jak odwrocimy bo jest \(\displaystyle{ -f}\) to bdz \(\displaystyle{ \left\langle -\frac12;0 \right\rangle}\) i o jeden do gory do \(\displaystyle{ \left\langle \frac12;1 \right\rangle}\)

ok wyszlo dzieki za pomoc

-- 5 gru 2013, o 20:59 --

nie rozumiem twojego sposobu, przypomnialam sobie jak robilismy to na lekcji (jak wyzej) i wyszlo

-- 5 gru 2013, o 21:06 --

a jeszcze jakbys mogl podpowiedzi jak okreslic zbior funkcji
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x=f(x) , x \in R}\)
dawno nie robilam i nie pamietam juz za bardzo

[kalwi]

jeśli na lekcji wyszło inaczej, to znaczy, że wyszło źle.
zakładam, że masz na myśli zbiór wartości funkcji. Najprościej to będzie zrobić patrząc na wykres. Narysuj sobie na jednym wykresie \(\displaystyle{ \sin x}\) oraz \(\displaystyle{ \cos x}\), i zobacz w których punktach się przecinają.Teraz patrzysz na ich wartość na osi \(\displaystyle{ OY}\) i mnożysz razy \(\displaystyle{ 2}\). Uzyskane wartości (powinny być \(\displaystyle{ 2}\), jedna na \(\displaystyle{ +}\), druga na \(\displaystyle{ -}\)) są skrajnymi elementami zbioru wartości funkcji

[raitoningu]

no na lekcji robilismy np
\(\displaystyle{ \left| \sin x\right| +2 = a}\)

i narysowalismy ten wykres i okreslilismy tak jakby zbior wartosci bo odp taka zapisalismy
\(\displaystyle{ a \in \left\langle 2;3 \right\rangle}\)

[kalwi]

i dobrą odpowiedź zapisaliście. A jak narysujesz wykres \(\displaystyle{ \sin ^{4}(x)+\cos ^{4}(x)}\) ? no właśnie, trochę ciężko

[raitoningu]

moge narysowac
\(\displaystyle{ 1- \frac{\sin ^2 2x}{2}}\)

-- 5 gru 2013, o 21:20 --

pozatym nie trzeba rysowac
jest tu \(\displaystyle{ \frac12\sin}\) czyli wartosc \(\displaystyle{ \left\langle -\frac12 ; \frac12 \right\rangle}\) (\(\displaystyle{ 2x}\) nie wplywa na zbior wartosci) a ze do kwadratu to tylko wartosci dodatnie, pozniej \(\displaystyle{ -f}\) czyli odbijamy o os \(\displaystyle{ ox}\) i na koniec przesuwamy i wiem jaki juz wynik

[kalwi]

możesz. Ale raz, że dość ciężko, dwa, że niepotrzebnie - znamy przecież zbiór wartości sinusa kwadrat, można łatwo i szybko policzyć wartości skrajne - czyli 0 i 1, stąd wiadomo, że zbiorem wartości jest przedział \(\displaystyle{ \left\langle \frac{1}{2},1 \right\rangle}\)

[raitoningu]

no sinus kwadrat to \(\displaystyle{ \left\langle 0;1 \right\rangle}\)
ale co to wartosci skrajne i jak policzyc to nie wiem moze mielismy tylko tak tego nie nazwalismy:)
napewno robilismy ta metoda jaka zapisalam

-- 5 gru 2013, o 21:29 --

a tamtego przykladu jednak nie wiem jak zrobic i dalam go w nowym temacie:P