Dla jakich wartości parametrów...

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
damianjnc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 1 lis 2011, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zawierzbie
Podziękował: 13 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: damianjnc »

Witam,

jak rozwiązać to zadanie:

Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ m ( m \in R )}\) równanie \(\displaystyle{ \sin ^{4} x+\cos ^{4} x=m ^{2} -3}\)ma rozwiązanie?

Pozdrawiam,
Damian
Ostatnio zmieniony 5 gru 2013, o 22:39 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
kalwi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1931
Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 145 razy
Pomógł: 320 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: kalwi »

\(\displaystyle{ \sin ^{4} x+ \cos ^{4} = ( \sin^2 x + \cos^2 x)^2 -2 \sin^2 x \cos^2 x= 1- \sin2x \cdot \cos x \cdot \sin x = 1- \frac{sin^2 2x}{2}}\)
skorzystałem z tego wzoru
... 85t.C3.B3w
no i wiadomo, że sinus przyjmuje wartości od -1 do 1, stąd już powinno pójść gładko
Ostatnio zmieniony 5 gru 2013, o 15:59 przez kalwi, łącznie zmieniany 1 raz.
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: Ania221 »

A jakie mogą być wartości sinusa i cosinusa?
Jakie mogą być po podniesieniu do kwadratu? jakie po zsumowaniu?
damianjnc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 212
Rejestracja: 1 lis 2011, o 16:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zawierzbie
Podziękował: 13 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: damianjnc »

kalwi pisze:\(\displaystyle{ \sin ^{4} x+ \cos ^{4} = ( \sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 -2 \sin ^2 x \cos ^2 x= 1- \sin 2x \cdot \cos x \cdot \sin x = 1- \frac{\sin ^2 2x}{2}}\)
skorzystałem z tego wzoru
... 85t.C3.B3w
no i wiadomo, że sinus przyjmuje wartości od -1 do 1, stąd już powinno pójść gładko
\(\displaystyle{ 1- \frac{\sin ^2 2x}{2}}\) Skąd się to wzieło, nie ma takiego wzoru w tablicach?
Ostatnio zmieniony 5 gru 2013, o 22:39 przez Vardamir, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
gogo_2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 9 wrz 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: gogo_2 »

W tablicach nie ma wszystkich możliwych wariantów, czasem trzeba trochę pomyśleć i zaimprowizować, a w trygonometrii szczególnie często.
W ostatnim przejściu zastosowano ponownie wzór na sinus podwojonego kąta
\(\displaystyle{ 1-\sin{2x}\cdot\cos{x}\cdot\sin{x} = 1-\sin{2x}\cdot\frac{1}{2}(2\cdot\cos{x}\cdot\sin{x}) = 1-\sin{2x}\cdot\frac{1}{2}\cdot\sin{2x}=1-\frac{\sin^{2}{2x}}{2}}\)
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: Ania221 »

Ale pytanie brzmiało:
Dla jakich wartości parametrów m równanie ma rozwiązanie?
Nikt nie kazał go rozwiązywać.
Trzeba się zastanowić, jaką wartość może przybrać lewa strona równania.
W tym celu, zrobić to co napisałam wyżej.
gogo_2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 9 wrz 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: gogo_2 »

No ale te przekształcenia też trzeba zrobić. Jak inaczej się dowiesz do jakiego przedziału może należeć suma czwartych potęg sinusa i cosinusa?
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: Ania221 »

A jakie mogą być wartości sinusa i cosinusa?
Jakie mogą być po podniesieniu do kwadratu? jakie po zsumowaniu?

Jak on bez potęgi jest między -1 a 1, to jaki może być do potęgi parzystej? przecież za jedynkę nie wyskoczy.
gogo_2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 9 wrz 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: gogo_2 »

No nie wyskoczy, ale co z sumą?
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: Ania221 »

Hm...no może i masz rację.
Bez przekształcenia powiedziałabym, ze (0,2).
Twoje przekształcenie pozwoli zawęzić przedział.
kalwi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1931
Rejestracja: 29 maja 2009, o 11:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 145 razy
Pomógł: 320 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: kalwi »

Ania221, to co napisałaś nie ma wielkiego sensu. Cosinus przyjmuje inne wartości niż sinus, więc nigdy nie zajdzie sytuacja, że \(\displaystyle{ \sin^4 x + \cos ^4 x = 0 \vee ...=2}\). Zresztą jak widać z przekształcenia, rozwiązaniem jest przedział \(\displaystyle{ \left\langle \frac{1}{2},1\right\rangle}\)
Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: Ania221 »

Masz racje. Wykreślam swoje posty
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

Dla jakich wartości parametrów...

Post autor: kropka+ »

Najpierw ustal jakie warunki musi spełniać \(\displaystyle{ m}\).
Potem lepiej po prostu skorzystać z jedynki trygonometrycznej i po lewej napisać:

\(\displaystyle{ \sin ^{4} x+\cos ^{4} x=\sin ^{4}x+(1-\sin ^{2}) ^{2}}\)

Dostaniesz równanie dwukwadratowe, gdzie \(\displaystyle{ \Delta}\) ma być nieujemna a pierwiastki należą do przedziału \(\displaystyle{ \left| 0,1\right|}\)
ODPOWIEDZ