Kąt potrojony i podwojony w równaniu - jak podstawić?

[damianjnc]

Witam,

jak rozwiązać to równanie z podwojonym i potrojonym kątem:

\(\displaystyle{ \sin 2x=\cos x-\cos 3x}\)

Nie wiem, tutaj nawet jak to podstawić

Pozdrawiam,
Damian

[lukasz1804]

Wystarczą elementarne wzory i przekształcenia:

\(\displaystyle{ \sin 2x=\cos x-\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x \\
\cos 2x\cos x-\sin 2x\sin x=\cos x-\sin 2x \\
\cos x(\cos 2x-1)=\sin 2x(\sin x-1) \\
-2\cos x\sin^2x=\sin 2x(\sin x-1) \\
-\sin 2x\sin x=\sin 2x(\sin x-1) \\
\sin 2x(2\sin x-1)=0}\)

Dalej chyba sobie poradzisz.

[damianjnc]

Z jakich to wzorów wynika, możesz podać link?

[lukasz1804]

W pierwszym wierszu: kosinus sumy kątów: \(\displaystyle{ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\) dla \(\displaystyle{ \alpha=2x, \beta=x}\).

W czwartym wierszu: kosinus podwojonego kąta \(\displaystyle{ \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\) i jedynka trygonometryczna \(\displaystyle{ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1}\) dla \(\displaystyle{ \alpha=x}\) dają łącznie \(\displaystyle{ \cos 2x=\cos^2x-\sin^2x=(1-\sin^2x)-\sin^2x=1-2\sin^2x}\).

[damianjnc]

A 5 wiersz z czego wynika?

[lukasz1804]

Zapomniałem: po lewej stronie równania wzór na sinus podwojonego kąta \(\displaystyle{ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha}\) dla \(\displaystyle{ \alpha=x}\).

[damianjnc]

OK, ogarniam, możesz sprawdzić wynik - wyszło mi \(\displaystyle{ x= \frac{ \pi }{6} +2k \pi}\)

[loitzl9006]

to jest ok, ale jeszcze będą inne rozwiązania

Musisz rozwiązać dwa równania: \(\displaystyle{ 2\sin x-1=0}\) oraz \(\displaystyle{ \sin2x=0}\)

Z pierwszego wychodzi \(\displaystyle{ \sin x=\frac12}\)

Przy rozwiązywaniu tego typu równań szkicuj sobie w układzie współrzędnych (najlepiej tak dla \(\displaystyle{ x\in \left\langle -2\pi;2\pi\right\rangle}\) abyś zauważał pewne prawidłowości) wykresy lewej i prawej strony równania. Wykresem lewej strony jest \(\displaystyle{ y=\sin x}\), a prawej funkcja stała \(\displaystyle{ y=\frac12}\)

Tam gdzie się przetną oba wykresy - jest rozwiązanie równania.

Podobną metodą rozwiązujesz drugie równanie

Jakby co to powinno wyjść
\(\displaystyle{ x=k\pi, \ \ x=\frac{\pi}2+k\pi, \ \ x=\frac{\pi}6+2k\pi, \ \ x=\frac{5\pi}6+2k\pi}\)