Wykazać równość dla funkcji cyklometrycznych.

geol13 · Post autor: **geol13** » 1 gru 2013, o 23:01

\(\displaystyle{ \arctan x-\arccot \frac{1}{x} =0 , x \in (0, \infty )}\)

ja mam tak:

\(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} -\arccot x-\arccot \frac{1}{x} =0}\)
\(\displaystyle{ \arccot x+\arccot \frac{1}{x}= \frac{ \pi }{2}}\)

i nie mogę dalej:(

qwe771 · Post autor: **qwe771** » 1 gru 2013, o 23:07

\(\displaystyle{ \arcctg \frac{1}{x} = \arctg x}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 1 gru 2013, o 23:10

Widzimy, że rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ x=1}\). Skoro funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\frac{1}{x}}\) maleje, to i \(\displaystyle{ \arctg\frac{1}{x}}\) maleje, a po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ -1}\) rośnie. Suma funkcji rosnących jest rosnąca. A więc jedynka jest jedynym rozwiązaniem.

geol13 · Post autor: **geol13** » 1 gru 2013, o 23:22

a da się to jakoś na liczbach?

qwe771 · Post autor: **qwe771** » 1 gru 2013, o 23:25

no jak chcesz na liczbach to po prostu podstaw, to co napisalem i wychodzi od razu, inna kwestia, czy wiesz, dlaczego taka równość jest spełniona

geol13 · Post autor: **geol13** » 1 gru 2013, o 23:38

no chyba nie do konca

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 1 gru 2013, o 23:48

A ja sobie nie doczytałem Tam był arcus cotangens. Przepraszam. A rzeczona równość (już w poprawnej formie) jest konsekwencją faktu, że \(\displaystyle{ \tg\alpha\ctg\alpha=1}\).

Skądinąd ciekawe jest rozwiązanie równania \(\displaystyle{ \arctg x=\arctg\frac{1}{x}}\). Wtedy oczywiście napisałem prawdę. Ale nie na temat niestety. Cóż - wiek nie ten. Okulary mocniejsze Czytać trzeba umieć.