Oblicz wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ \frac{\sin \alpha + \sin 2 \alpha + \sin 3 \alpha }{2\cos \alpha + 1}}\)
dla \(\displaystyle{ \alpha = \frac{ \pi}{12}}\)
Funkcja trygonometryczna
-
chris_f
- Użytkownik
- Posty: 2727
- Rejestracja: 14 paź 2004, o 16:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: podkarpacie
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 945 razy
Funkcja trygonometryczna
Skorzystaj ze wzoru
\(\displaystyle{ \sin x\pm\sin y=2\sin\frac{x\pm y}{2}\cdot\cos\frac{x\mp y}{2}}\)
stosując go do pierwszego i trzeciego składnika.
Dla tych dwóch składników otrzymasz
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin3\alpha=2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2}=
2\sin2\alpha\cdot\cos(-\alpha)=2\sin2\alpha\cos\alpha}\)
Podstawiając to do twojego wyrażenia otrzymamy
\(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\sin2\alpha+\sin3\alpha}{2\cos\alpha+1}=
\frac{2\sin2\alpha\cos\alpha+\sin2\alpha}{2\cos\alpha+1}}\)
Gdy wyciągniesz \(\displaystyle{ \sin2\alpha}\) przed nawias to coś się skróci, zostanie \(\displaystyle{ \sin2\alpha}\), który po podstawieniu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\) da bardzo ładny kąt pod sinusem.
\(\displaystyle{ \sin x\pm\sin y=2\sin\frac{x\pm y}{2}\cdot\cos\frac{x\mp y}{2}}\)
stosując go do pierwszego i trzeciego składnika.
Dla tych dwóch składników otrzymasz
\(\displaystyle{ \sin\alpha+\sin3\alpha=2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-3\alpha}{2}=
2\sin2\alpha\cdot\cos(-\alpha)=2\sin2\alpha\cos\alpha}\)
Podstawiając to do twojego wyrażenia otrzymamy
\(\displaystyle{ \frac{\sin\alpha+\sin2\alpha+\sin3\alpha}{2\cos\alpha+1}=
\frac{2\sin2\alpha\cos\alpha+\sin2\alpha}{2\cos\alpha+1}}\)
Gdy wyciągniesz \(\displaystyle{ \sin2\alpha}\) przed nawias to coś się skróci, zostanie \(\displaystyle{ \sin2\alpha}\), który po podstawieniu \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\) da bardzo ładny kąt pod sinusem.