Wyznaczenie funkcji odwrotnej

Scruffy · Post autor: **Scruffy** » 27 lis 2013, o 18:13

Sprawdzić, dla jakich argumentów\(\displaystyle{ x}\) istnieje funkcja odwrotna do:
\(\displaystyle{ f(x)= 5 \ctg (\pi - 3x) -1}\)
oraz wyznaczyć \(\displaystyle{ f ^{-1}}\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ x \in \left( 0 , \frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ f^{-1} = \frac{\arctg x-\pi}{-3}}\)
Czy wykonałem to zadanie poprawnie? Z góry dzięki za pomoc.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 28 lis 2013, o 11:11

Tak, tylko masz funkcję określoną na całym \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Musisz uwzglednić przypadki.

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 28 lis 2013, o 11:49

Scruffy pisze: Czy wykonałem to zadanie poprawnie?

Trudno jest poprawnie rozwiązać zadanie, które jest co najmniej niejasno sformułowane.

Przy tym sformułowaniu treści ja bym to rozwiązywał w ten sposób:

Pokażę, że dla żadnego argumentu \(\displaystyle{ x}\) nie istnieje funkcja odwrotna do \(\displaystyle{ f}\). Weźmy bowiem dowolny argument \(\displaystyle{ x}\). Wówczas funkcja \(\displaystyle{ f}\) nie jest różnowartościowa, gdyż \(\displaystyle{ f\left(\frac{\pi}6\right)=-1=f\left(\frac{\pi}2\right)}\). Zatem nie istnieje funkcja odwrotna do \(\displaystyle{ f}\).

I oczywiście drugie polecenie w zadaniu jest niewykonalne. Jak mam wyznaczyć \(\displaystyle{ f^{-1}}\), skoro \(\displaystyle{ f^{-1}}\) nie istnieje?