funkcje cyklometryczne - dowód

[szczerbatek]

Udowodnij :
\(\displaystyle{ \sin(\arcsin\frac{4}{5} - 2\arcctg(-2)) = \frac{24}{25}}\)

Mam problem z tym zadaniem, nie bardzo wiem jak się za to zabrać więc proszę o jakieś wskazówki

[Kartezjusz]

Z definicji funkcji cyklometrycznych wiesz ,że
\(\displaystyle{ \sin x = \frac{4}{5}}\)
\(\displaystyle{ \ctg y = -2}\)
Czyli nasze zadanie daje się zapisać w postaci
\(\displaystyle{ \sin (x-2y)= \frac{24}{25}}\)

[szczerbatek]

do tego poziomu nie jest trudno dotrzeć, problemem jest jak rozwiązać to dalej...

[Kartezjusz]

Wzór na różnicę sinusów na dobry początek.

[szczerbatek]

mam tak :

\(\displaystyle{ \sin x\cos 2y - \cos x\sin 2y = \frac{24}{25}

\sin x\ctg 2y\sin 2y - \cos x \left( 2\sin y\cos y \right) = \frac{24}{25}}\)
\(\displaystyle{ \sin x \frac{\ctg ^{2}y - 1 }{2\ctg y} \sin 2y - \cos x \left( 2\sin y\cos y \right) = \frac{24}{25}}\)

i tutaj się zatrzymuję

myślę, że można jeszcze zamienić \(\displaystyle{ \sin 2y}\) na \(\displaystyle{ \frac{ \frac{2}{\ctg y} }{1+ \left( \frac{1}{\ctg y} \right) ^{2} }}\)

[Kartezjusz]

Zostawmy na drugą linijkę. Rozpisz podwojone kąty. Powolutku.