Niewymierność/wymierność funkcji tryg. - dowodzenie

Christofanow · Post autor: **Christofanow** » 26 lis 2013, o 22:04

Cześć!

Zastanawiam się jak można dowieść np. niewymierności \(\displaystyle{ \sin(\pi 18^{-1}})}\), czy też wymierności \(\displaystyle{ \sin(\pi6^{-1})}\). Proszę o wskazówki . Jeśli to ma znaczenie to - nie ogranicza mnie zakres liceum...

norwimaj · Post autor: **norwimaj** » 26 lis 2013, o 23:58

Christofanow pisze:czy też wymierności \(\displaystyle{ \sin(\pi6^{-1})}\).

\(\displaystyle{ \sin\frac{\pi}6}\) to jest to samo, co \(\displaystyle{ \frac12}\). Raczej nie uda Ci się dowieść niewymierności tej liczby.

Kartezjusz · Post autor: **Kartezjusz** » 27 lis 2013, o 10:05

Christofanow pisze:Cześć!

Zastanawiam się jak można dowieść np. niewymierności \(\displaystyle{ \sin(\pi 18^{-1}})}\), czy też wymierności \(\displaystyle{ \sin(\pi6^{-1})}\). Proszę o wskazówki . Jeśli to ma znaczenie to - nie ogranicza mnie zakres liceum...

.

Wymierność drugiej wartości masz z tw. Pitagorasa dla trójkąta porstokatnego odpowiedniego-równosć jaką zauważył Norwimaj.
A teraz niewymierność pierwszej.

Pokaż najpierw - ze wzoru na sinus sumy ,że
\(\displaystyle{ \sin 3a = \sin a \cdot (3- 4 \sin a)}\) \(\displaystyle{ a= \frac{\pi}{18}}\),a następnie policz liczbę z lewej strony, a następnie wstaw \(\displaystyle{ x= \sin \frac{\pi}{18}}\). Dostaniesz równanie wielomianowe. Z odpowiedniego twierdzenia pokazujesz brak pierwiastków wymiernych.