Rozwiązać nierówność

[Kaczuszka]

\(\displaystyle{ \cos x + 2\tg x \le 2 + \sin x}\)

Mam problemy z tym rownaniem dochodze do \(\displaystyle{ \cos x(\cos x-2)(\cos x-\sin x) \le 2}\) co po 1. wedlug wolframa jest zle, po 2. nie wiem nawet jak z tego jakos w miare sprawnie wyciagnac przedzialy : /. Jakis help?

[Jan Kraszewski]

Pokaż, jak liczysz.

JK

[chris_f]

Oczywiście \(\displaystyle{ \cos x\neq0}\) czyli \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}}\).
\(\displaystyle{ \cos x + 2\tan x \le 2 + \sin x}\)
\(\displaystyle{ \cos x + 2\frac{\sin x}{\cos x} \le 2 + \sin x}\)
\(\displaystyle{ \cos^2x+2\sin x\le 2\sin x+\sin^2x}\)
\(\displaystyle{ \cos^2x-\sin^2x\le0}\)
i za nic nie chce wyjść tak jak u Ciebie.
Teraz tylko wzór na cosinus podwojonego kąta i prościutka nierówność do rozwiązania (pamiętaj o dziedzinie).

[Kaczuszka]

dlaczego \(\displaystyle{ \cos ^2x+2\sin x\le 2\sin x+\sin ^2x}\)? nie powinno byc ( zapewne popelniam jakis tragiczny blad ;s):

\(\displaystyle{ \frac{\cos ^2x }{\cos x} + 2 \frac{\sin x }{\cos x} < \frac{2\sin x + \sin ^2x}{\sin x}}\)

\(\displaystyle{ \frac{\cos ^2x + 2 \sin x }{\cos x} < \frac{2\sin x + \sin ^2x}{\sin x}}\)

Liczylem tak, ze mnozylem przez \(\displaystyle{ \cos ^2x}\) i potem grupowalem.

[piasek101]

Oczywiście \(\displaystyle{ \cos x\neq0}\) czyli \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\pi\}}\).
\(\displaystyle{ \cos x + 2\tan x \le 2 + \sin x}\)
\(\displaystyle{ \cos x + 2\frac{\sin x}{\cos x} \le 2 + \sin x}\)
\(\displaystyle{ \cos^2x+2\sin x\le 2\sin x+\sin^2x}\)
\(\displaystyle{ \cos^2x-\sin^2x\le0}\)
i za nic nie chce wyjść tak jak u Ciebie.
Teraz tylko wzór na cosinus podwojonego kąta i prościutka nierówność do rozwiązania (pamiętaj o dziedzinie).

Co zrobiłeś między trzecią a czwartą linijką ?

Pomnożyć stronami przez cosinusa do kwadratu, wszystko na lewą i pogrupować.