oblicz rownanie

[geol13]

\(\displaystyle{ \sin \left( \arccot 5-\arccos \frac{1}{5} \right)}\)

ze wzoru na sinus różnicy mam:

\(\displaystyle{ \sin \left( \arccot 5-\arccos \frac{1}{5} \right) =\sin arc\ctg 5 \cdot \cos arc\cos \frac{1}{5}-\sin arc\cos \frac{1}{5} \cdot \cos arc\ctg 5= \sin arc\ctg 5 \cdot \frac{1}{5}-\sin arc\cos \frac{1}{5} \cdot \cos arc\ctg 5}\)

i co dalej... próbowałam jeszcze zamienić sinusa i cosinusa na ctg...

\(\displaystyle{ \frac{\cos ^{2} \alpha }{\sin ^{2} \alpha } =\ctg ^{2} \alpha}\)
\(\displaystyle{ \cos \alpha = \sqrt{ \frac{\ctg ^{2} \alpha }{1+\ctg ^{2} \alpha } }}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha = \sqrt{ \frac{1}{1+\ctg ^{2} \alpha } }}\)

proszę o pomoc

[Seth Briars]

\(\displaystyle{ \sin \left(arc\ctg (5)\right) \cdot \frac{1}{5}-\sin \left(arc\cos \left(\frac{1}{5}\right)\right) \cdot \cos \left(arc\ctg (5)\right)= \\ \sin \left(\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{1+5^2}} \right)\right) \cdot \frac{1}{5}-\sin \left(\arcsin \left(\sqrt{1-\left(\frac{1}{5} \right)^2} \right) \right) \cdot \cos \left(\arccos \left(\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{1+5^2}}\right)^2} \right) \right)\right)= \\ \frac{1}{\sqrt{1+5^2}} \cdot \frac{1}{5}-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5} \right)^2} \cdot \sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{1+5^2}} \right)^2}}\)

Ewentualnie możesz sobie to jeszcze uprościć.

[geol13]

\(\displaystyle{ \sin \left(arc\ctg (5)\right) \cdot \frac{1}{5}-\sin \left(arc\cos \left(\frac{1}{5}\right)\right) \cdot \cos \left(arc\ctg (5)\right)= \\ \sin \left(\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{1+5^2}} \right)\right) \cdot \frac{1}{5}-\sin \left(\arcsin \left(\sqrt{1-\left(\frac{1}{5} \right)^2} \right) \right) \cdot \cos \left(\arccos \left(\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{1+5^2}}\right)^2} \right) \right)\right)= \\ \frac{1}{\sqrt{1+5^2}} \cdot \frac{1}{5}-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5} \right)^2} \cdot \sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{1+5^2}} \right)^2}}\)

Ewentualnie możesz sobie to jeszcze uprościć.

Nie rozumiem tej ostatniej części we wzorze dlaczego tam dales cosarccos5, a nie cosarcctg5

[Seth Briars]

Chodzi Ci o to dlaczego zachodzi równość \(\displaystyle{ \cos \left(arc\ctg (5)\right)=\cos \left(\arccos \left(\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{1+5^2}}\right)^2} \right) \right)\right)}\) ?

[geol13]

tak

[Seth Briars]

Dla \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzą wzory

\(\displaystyle{ \arcctg(x)=\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \arcsin(x)=\arccos \left(\sqrt{1-x^2}\right)}\)

Najpierw wyrażasz \(\displaystyle{ \arccot}\) jako \(\displaystyle{ \arcsin}\), a później \(\displaystyle{ \arcsin}\) wyrażasz jako \(\displaystyle{ \arccos}\)