Wyprowdzenie funkcji arcsinx (liczby zespolone)

[xxmonikaxx]

Chodzi mi o sprawdzenie poprawności poniższych wyliczeń.
Chce wyprowadzić funkcje \(\displaystyle{ \arcsinx}\) w przestrzeni liczb zespolonych i tak:

niech \(\displaystyle{ w = \sin x}\)
korzystam ze wzoru:
\(\displaystyle{ w = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ k = e^{iz}}\) co daje \(\displaystyle{ w = \frac{k - \frac{1}{k} }{2i}}\) dalej mnoze przez dwa i mam: \(\displaystyle{ 2w = \frac{k - \frac{1}{k} }{i}}\) nastepnie mnoze przez i co daje: \(\displaystyle{ 2wi = k - \frac{1}{k}}\) i mnoze przez k czyli mamy ostatecznie, że:

\(\displaystyle{ k^2 - 2wik - 1 = 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{{(-2wi)}^2 - 4} = 2 \sqrt{1 - w^2}}\)
\(\displaystyle{ k_1 = \frac{2wi - 2 \sqrt{1 - w^2} }{2} = wi - \sqrt{1 -w^2}}\) lub \(\displaystyle{ k_2 = wi + \sqrt{1 -w^2}}\)

Ale to mi się nie podoba bo działamy na liczbach zespolonych ...

Ale dalej idąc tym sposobem otrzymujemy:
\(\displaystyle{ e^{iz} = wi \pm \sqrt{1 - w^2}}\) czyli \(\displaystyle{ z = \frac{1}{i} \ln(wi \pm \sqrt{1 - w^2})}\).
Czyli ostatecznie:
\(\displaystyle{ Arcsin w =\frac{1}{i} \ln (iz \pm \sqrt{1 - z^2)}}\) .

Jednak w książce nie ma we wzorze tego: \(\displaystyle{ \frac{1}{i}}\) oraz znaku \(\displaystyle{ \pm}\) tylko sam \(\displaystyle{ +}\). Więc gdzie mam błąd?

Czy to jest poprawne rozumowanie?