udowodnij z równosci
-
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 19 lis 2013, o 12:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 158 razy
udowodnij z równosci
\(\displaystyle{ \arctg \frac{1}{3}+\arctg \frac{1}{5} +\arctg \frac{1}{7} +\arctg \frac{1}{8} = \frac{ \pi }{4}}\)
Ostatnio zmieniony 25 lis 2013, o 09:02 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- oldj
- Użytkownik
- Posty: 133
- Rejestracja: 5 wrz 2012, o 14:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 37 razy
udowodnij z równosci
Najprościej ze wzoru \(\displaystyle{ \mbox{arctg}\,x+\mbox{arctg}\,y= \mbox{arctg}\,\frac{x+y}{1-xy}}\) , natomiast poniżej inaczej (to w zasadzie idea wyprowadzenia tego wzoru)
Oznaczmy te kolejne arcusy jako \(\displaystyle{ w,x,y,z}\)
Rozważmy liczby zespolone \(\displaystyle{ (3+i),(5+i),(7+i),(8+i)}\). Zauważmy, że ich argumenty są równe (odpowiednio) \(\displaystyle{ w,x,y,z}\).
Wymnóżmy je cierpliwie:
\(\displaystyle{ (3+i)(5+i)(7+i)(8+i) = 650(1+i)}\) (tutaj dość niecierpliwie, cierpliwie było na kartce)
Z prawej strony otrzymujemy \(\displaystyle{ 650\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 650\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}\)
Teraz lewa strona - wyciągając przed nawias moduł każdego czynnika, dostajemy:
\(\displaystyle{ (3+i)(5+i)(7+i)(8+i) = \sqrt{10 \cdot 26 \cdot 50 \cdot 65} \cdot e^{iw}e^{ix}e^{iy}e^{iz}}\)
Stąd mamy równość : \(\displaystyle{ \sqrt{10 \cdot 26 \cdot 50 \cdot 65} \cdot e^{iw}e^{ix}e^{iy}e^{iz} = 650\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}\) . Teraz ładnie nam się skraca i mamy:
\(\displaystyle{ e^{i(w+x+y+z)} = e^{i\frac{\pi}{4}}}\) , co kończy dowód wyjściowej tożsamości.
Oznaczmy te kolejne arcusy jako \(\displaystyle{ w,x,y,z}\)
Rozważmy liczby zespolone \(\displaystyle{ (3+i),(5+i),(7+i),(8+i)}\). Zauważmy, że ich argumenty są równe (odpowiednio) \(\displaystyle{ w,x,y,z}\).
Wymnóżmy je cierpliwie:
\(\displaystyle{ (3+i)(5+i)(7+i)(8+i) = 650(1+i)}\) (tutaj dość niecierpliwie, cierpliwie było na kartce)
Z prawej strony otrzymujemy \(\displaystyle{ 650\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 650\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}\)
Teraz lewa strona - wyciągając przed nawias moduł każdego czynnika, dostajemy:
\(\displaystyle{ (3+i)(5+i)(7+i)(8+i) = \sqrt{10 \cdot 26 \cdot 50 \cdot 65} \cdot e^{iw}e^{ix}e^{iy}e^{iz}}\)
Stąd mamy równość : \(\displaystyle{ \sqrt{10 \cdot 26 \cdot 50 \cdot 65} \cdot e^{iw}e^{ix}e^{iy}e^{iz} = 650\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}\) . Teraz ładnie nam się skraca i mamy:
\(\displaystyle{ e^{i(w+x+y+z)} = e^{i\frac{\pi}{4}}}\) , co kończy dowód wyjściowej tożsamości.
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
udowodnij z równosci
1.Patrz piwersza linijka
2. Myślę,że jak znasz funkcje cyklometryczne ,to znasz liczby zespolone. Ja poznałem je drugiego dnia na studiach.
2. Myślę,że jak znasz funkcje cyklometryczne ,to znasz liczby zespolone. Ja poznałem je drugiego dnia na studiach.
-
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 19 lis 2013, o 12:36
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 158 razy
udowodnij z równosci
czyli mam to rozbić w ten sposób ze 2 pierwsze części razem sumuje, później 2 drugie, i na koniec razem?