udowodnij z równosci

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
geol13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 634
Rejestracja: 19 lis 2013, o 12:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 158 razy

udowodnij z równosci

Post autor: geol13 »

\(\displaystyle{ \arctg \frac{1}{3}+\arctg \frac{1}{5} +\arctg \frac{1}{7} +\arctg \frac{1}{8} = \frac{ \pi }{4}}\)
Ostatnio zmieniony 25 lis 2013, o 09:02 przez bakala12, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
oldj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 133
Rejestracja: 5 wrz 2012, o 14:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 37 razy

udowodnij z równosci

Post autor: oldj »

Najprościej ze wzoru \(\displaystyle{ \mbox{arctg}\,x+\mbox{arctg}\,y= \mbox{arctg}\,\frac{x+y}{1-xy}}\) , natomiast poniżej inaczej (to w zasadzie idea wyprowadzenia tego wzoru)

Oznaczmy te kolejne arcusy jako \(\displaystyle{ w,x,y,z}\)

Rozważmy liczby zespolone \(\displaystyle{ (3+i),(5+i),(7+i),(8+i)}\). Zauważmy, że ich argumenty są równe (odpowiednio) \(\displaystyle{ w,x,y,z}\).

Wymnóżmy je cierpliwie:
\(\displaystyle{ (3+i)(5+i)(7+i)(8+i) = 650(1+i)}\) (tutaj dość niecierpliwie, cierpliwie było na kartce)

Z prawej strony otrzymujemy \(\displaystyle{ 650\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 650\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}\)

Teraz lewa strona - wyciągając przed nawias moduł każdego czynnika, dostajemy:
\(\displaystyle{ (3+i)(5+i)(7+i)(8+i) = \sqrt{10 \cdot 26 \cdot 50 \cdot 65} \cdot e^{iw}e^{ix}e^{iy}e^{iz}}\)

Stąd mamy równość : \(\displaystyle{ \sqrt{10 \cdot 26 \cdot 50 \cdot 65} \cdot e^{iw}e^{ix}e^{iy}e^{iz} = 650\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}\) . Teraz ładnie nam się skraca i mamy:

\(\displaystyle{ e^{i(w+x+y+z)} = e^{i\frac{\pi}{4}}}\) , co kończy dowód wyjściowej tożsamości.
geol13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 634
Rejestracja: 19 lis 2013, o 12:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 158 razy

udowodnij z równosci

Post autor: geol13 »

a da się to zrobić nie znając liczb zespolonych?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

udowodnij z równosci

Post autor: Kartezjusz »

1.Patrz piwersza linijka
2. Myślę,że jak znasz funkcje cyklometryczne ,to znasz liczby zespolone. Ja poznałem je drugiego dnia na studiach.
geol13
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 634
Rejestracja: 19 lis 2013, o 12:36
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 158 razy

udowodnij z równosci

Post autor: geol13 »

czyli mam to rozbić w ten sposób ze 2 pierwsze części razem sumuje, później 2 drugie, i na koniec razem?
Awatar użytkownika
kropka+
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4389
Rejestracja: 16 wrz 2010, o 14:54
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 787 razy

udowodnij z równosci

Post autor: kropka+ »

Tak
ODPOWIEDZ