rozwiąż rownanie

[geol13]

\(\displaystyle{ \arcsin x+\arcsin 2x= \frac{ \pi }{2}}\)

ja zamieniła arcsin2x na 2arcsinxarccosx i za arccosx podstawiłam \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} -\arcsin x}\)

ale nie wychodzi

[Seth Briars]

\(\displaystyle{ \sin \left(\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\arcsin \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right)=\sin \left(\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right) \cdot \\ \cdot \cos \left(\arcsin \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right)+ \cos \left(\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\right) \cdot \sin \left(\arcsin \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)\right)= \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \cos \left(\arccos \left(\sqrt{1-\left(\frac{2}{\sqrt{5}}}\right)^2\right)\right)+\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \cos \left(\arccos \left(\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2}\right)\right)=1}\)

skąd ponieważ \(\displaystyle{ (\arcsin (x)+\arcsin (2x)) \in \left[-\frac{2\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]}\) musi być \(\displaystyle{ \arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\arcsin \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\frac{\pi}{2}}\). Zatem \(\displaystyle{ x=\frac{1}{\sqrt{5}}}\) i jest to jedyne rozwiązanie równania, bo funkcja \(\displaystyle{ \arcsin (x)+\arcsin (2x)}\) jest rosnąca jako suma funkcji rosnących.

[geol13]

a skąd się bierze we wzorze na samym początku \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{5} }}\) ?

[Kartezjusz]

Rozrysuj sobie trójkąt. Jakie ma boki, jeśli sinus jednego kąta jest dwa razy większy od kąta przeciwleglego ( który jest cosinusem kąta przyległego, bo sumują się kąty do \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

[geol13]

rozrysowałam to sobie, ale doszłam do czegos dziwnego
wyszło mi równanie \(\displaystyle{ 5sin ^{2}x-4sin ^{4}x-1=0}\)

i po rozwsiązaniu tego

sinx=1 lub sinx=-1 lub sinx =1/2 lub sinx=-1/2

[Seth Briars]

a skąd się bierze we wzorze na samym początku \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{5} }}\) ?

Z wyboru - pokazałem, że \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{5}}}\) jest pierwiastkiem tego równania i uzasadniłem, że innych pierwiastków to równanie nie ma, czyli to równanie jest rozwiązane.

[Kartezjusz]

Tylko pytanie przyszło ,skąd tak celnie wybierasz. Wielu uczniów o to pyta. Czy poza doświadczeniem i intuicją są jakieś porady na takie wychwyty?

[Seth Briars]

Tak na dobrą sprawę mógłbym to samo rozumowanie napisać dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) (z odpowiedniego przedziału) zamiast dla \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{5}}}\), a następnie wyznaczyć to \(\displaystyle{ x}\) z odpowiedniego równania.

[geol13]

a mogłbys to pokazać?

[Seth Briars]

Jeśli napiszesz to samo dla \(\displaystyle{ x}\) z dziedziny Twojej funkcji, co ja napisałem dla \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{5}}}\), to otrzymasz równanie

\(\displaystyle{ x \cdot \cos \left(\arccos \left(\sqrt{1-\left(2x\right)^2\right)\right)+2x \cdot \cos \left(\arccos \left(\sqrt{1-\left(x\right)^2}\right)\right)=1}\), które jest równoważne równaniu

\(\displaystyle{ x \cdot \sqrt{1-(2x)^2}+2x \cdot \sqrt{1-x^2}=1}\)

Umiesz je rozwiązać?

[geol13]

najpierw wyznaczam dziedzinę i wyszlo mi \(\displaystyle{ x \in <- \frac{1}{2} , \frac{1}{2} >}\)

a mogę podnieść to do kwadratu??

[Seth Briars]

Zależy w jaki sposób chcesz podnosić to do kwadratu - czy chcesz porozrzucać niewiadome po obu stronach równości jak wygodnie czy też nie.
Ogólnie rzecz biorąc możesz podnosić do kwadratu tak aby pozbyć się tych pierwiastków, ale wówczas jak otrzymasz już równanie od pierwiastków wolne, to nie wszystkie jego rozwiązania muszą być rozwiązaniami Twojego równania. Jak wyliczysz pierwiastki takiego równania, to sprawdź czy są one rozwiązaniami równania wyjściowego (tego które podałem). Jeżeli tak - to jest OK, a jeśli nie, to je wyrzucasz. W ten sposób otrzymasz wszystkie pożądane rozwiązania. Polecam ten sposób.