Równanie trygonometryczne

[chudiniii]

Treść:


Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ 4sin^{2}x+sin^{2}2x=3}\)




Proszę o napisanie rozwiązania i możliwe objaśnienia do tego zadanka. Z góry dziękuję i dla pomocników daję punkciki.

[ariadna]

\(\displaystyle{ 4sin^{2}+4sin^{2}xcos^{2}x=3}\)
\(\displaystyle{ 4sin^{2}x(1+cos^{2}x)=3}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}x(1+1-sin^{2}x)=\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ 2sin^{2}x-sin^{4}x-\frac{3}{4}=0}\)
\(\displaystyle{ t=sin^{2}x}\)
\(\displaystyle{ t\geqslant{0}}\)
\(\displaystyle{ -t^{2}+2t-\frac{3}{4}=0}\)
\(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\)

[wb]

\(\displaystyle{ 4sin^2 x+sin^2 2x=3 \\ 4sin^2 x+(2sinxcosx)^2-3=0 \\ 4sin^2 x+4sin^2 xcos^2 x-3=0 \\ 4sin^2 x+4sin^2 x(1-sin^2 x)-3=0 \\ 4sin^2 x+4sin^2 x-4sin^4 x-3=0 \\ -4sin^4 x+8sin^2x-3=0 \\ sin^2 x=t \\ -4t^2+8t-3=0 \\ t=\frac{3}{2} t=\frac{1}{2}}\)

Prawidłowym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ t=\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin^2x=\frac{1}{2} \\ sin^2x-\frac{1}{2}=0 \\ (sinx-\frac{\sqrt2}{2})(sinx+\frac{\sqrt2}{2})=0 \\ sinx=\frac{\sqrt2}{2} sinx=-\frac{\sqrt2}{2}}\)
i np. z wykresu odczytaj rozwiązania .

[chudiniii]

W odpowiedzi mam taki wynik \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}*k\pi*\frac{\pi}{2}}\)


Mógłby mi to ktoś wytłumaczyć bo nie mogę tego wyniku załapać ??:

[wb]

\(\displaystyle{ sinx=\frac{\sqrt2}{2} x=\frac{\pi}{4}+2k\pi x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi \\ sinx=-\frac{\sqrt2}{2} x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi x=\frac{7\pi}{4}+2k\pi}\)

Po zaznaczeniu powyższych rozwiązań na osi liczbowej można zauważyć, że:
\(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} \ \ \ k\in C}\)