Cztery Równania Trygonometryczne

[raitoningu]

Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tych o to równań trygonometrycznych z dokładnym opisem.

\(\displaystyle{ 1.)\ \sin ^{2} (x) + \sin ^{2} (2x) = 1\\
2.)\ \sin ^{2} (x) \cdot \cos ^{2} (x) = \frac{1}{16}\\
3.)\ \sin (x) - 1 = \sin (2x) - 2\cos (x)\\
4.)\ [\sin (x)-\cos (x)]^{2} =\sin (2x)}\)

[wujomaro]

1) Jedynka trygonometryczna.
Pozdrawiam!

[raitoningu]

czyli jak przeksztalcic \(\displaystyle{ \sin ^{2} (2x)}\)?

[wujomaro]

Jedynka trygonometryczna wygląda tak:
\(\displaystyle{ \sin^{2}x + \cos^{2}x=1}\)
Jakie z tego wnioski?
Pozdrawiam!

[raitoningu]

\(\displaystyle{ 1-\cos ^{2}x + 1 - \cos ^{2}2x = 1}\) ?

-- 21 lis 2013, o 19:29 --

czy może
\(\displaystyle{ 1 - \cos ^{2}x + 1 - \cos 2x = 1}\)
i to jest rowne
\(\displaystyle{ 1 -\cos ^{2}x +2\cos ^{2}x -1 = 0}\) ?

[wujomaro]

\(\displaystyle{ \sin^{2}x+ \cos^{2}x=1 \\ \sin^{2}x+ \sin^{2}2x=1}\)
I żadnych wniosków?

[raitoningu]

nic a nic tak jak wyżej widzisz coś próbowałam ze wzorów
chyba zeby zapisac \(\displaystyle{ \sin ^{2}2x=\cos ^{2}x}\) ?

[wujomaro]

Dokładnie, \(\displaystyle{ \sin^{2}2x= \cos^{2}x}\)
I co dalej?
Pozdrawiam!

[raitoningu]

\(\displaystyle{ \sin ^{2}2x=1-\sin ^{2}x\\
\sin ^{2}2x + \sin ^{2}x -1 = 0}\)
a dalej nie wiem

[wujomaro]

Znasz wzór na sinus podwójnego kąta?
Chyba lepiej będzie przenieść \(\displaystyle{ \cos^{2}x}\) na lewą stronę i wyłączyć przed nawias.
Pozdrawiam!

[raitoningu]

\(\displaystyle{ \sin 2 \alpha =2\sin \alpha =2\sin \alpha \cos \alpha}\)??
\(\displaystyle{ \sin 2}\) czy \(\displaystyle{ 2\sin}\)? na lekcji pisaliśmy wzór \(\displaystyle{ 2\sin}\) a pani korzystała z niego przy \(\displaystyle{ \sin 2}\)

[wujomaro]

Wzór na sinus podwójnego kąta to:
\(\displaystyle{ \sin 2x= 2 \sin x \cos x}\)
Wykorzystaj to w równaniu wyżej.
Pozdrawiam!

[raitoningu]

tylko, ze sinus jest do kwadratu i nie wiem jak to bedzie wtedy z tym wzorem-- 21 lis 2013, o 19:51 --\(\displaystyle{ 4sin^{2}xcos^{2}x}\)
?

[wujomaro]

Czyli całość podnosimy do kwadratu:
\(\displaystyle{ (abc)^{2}= a^{2} \cdot b^{2} \cdot c^{2}}\)
Edit: Tak, dobrze.
Pozdrawiam!

[raitoningu]

i wychodzi po podzieleniu przez prawa strone
\(\displaystyle{ 4\sin ^{2}x=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \sin ^{2}x=0}\)
i wtedy
\(\displaystyle{ x=k \pi}\)
? czy \(\displaystyle{ \sin ^{2}}\)
ma jakis wplyw na wynik? bo nie robilismy z kwadratem przykladow narazie

-- 21 lis 2013, o 19:59 --

bo chyba \(\displaystyle{ -k \pi}\) nie ma wplywu ze wzgledu ze \(\displaystyle{ k \in C}\)