Oblicz sinus kąta

[Zahion]

Witam! Dość prosto jest wyznaczyć przy pomocy kalkulatora z równości \(\displaystyle{ x}\) jeśli :
\(\displaystyle{ sin x = a}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest daną liczbą. Natomiast moje pytanie sprowadza się do tego, jak można wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ x}\) matematycznie. Oczywiście na maturach itp. rzeczach są tablice, lecz jest to czysta ciekawość. Przykład \(\displaystyle{ sin x = 0,4}\).
Z góry dziękuje za odpowiedz.
Pozdrawiam.

[Powermac5500]

Czyli chciałbyś na piechotę policzyć \(\displaystyle{ \arcsin 0,4}\)
Na Twoim poziomie to chyba się nie da.

Generalnie rozwija się funkcję w szereg i potem można przy założeniu określonej dokładności oszacować wynik sumując kolejne wyrazy szeregu.

[Zahion]

Właśnie o to mi chodzi. Mógłbyś dać mi rozwiązanie na przykładzie mojego przykładu ? Ja bym to przeanalizował
Z góry dzięki.

[Powermac5500]

Tak w wielkiej ogólności:

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{ f^{(n)}\left( x_{0} \right) }{n!}\left( x-x _{0} \right)^{n}}\)

gdzie \(\displaystyle{ f^{(n)}}\) jest n-tą pochodną \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\)

\(\displaystyle{ x_{0}}\) to jest punkt, w którym wartość funkcji jest Ci znana
\(\displaystyle{ x}\) to punkt, w którym chcesz obliczyć tę wartość.

Są oczywiście założenia, że funkcja musi być różniczkowalna w otoczeniu \(\displaystyle{ x_{0}}\)

Problem więc polega na policzeniu kolejnych pochodnych interesującej nas funkcji, podstawieniu do wzoru. W praktyce obliczania przybliżonej wartości nie sumuje się do nieskończoności, tylko bierze się tyle wyrazów szeregu by uzyskać właściwą dokładność.