Wiedząc, że \(\displaystyle{ \textrm{sin}x+\textrm{cos}x= \frac{1}{2}}\) oblicz \(\displaystyle{ \textrm{sin}^{4}x+\textrm{cos}^{4}x}\).
Jak się za to zabrać?
Obliczanie wartości wyrażenia
-
Powermac5500
- Użytkownik
- Posty: 323
- Rejestracja: 3 sty 2013, o 16:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 62 razy
Obliczanie wartości wyrażenia
\(\displaystyle{ \sin x+\cos x= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \left( \sin x+ \cos x\right)^2 = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x \cos x = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x = - \frac{3}{4}}\)
Teraz drugie:
\(\displaystyle{ \sin^{4} x+\cos^{4} x=\left(\sin^{2} x+\cos^{2} x \right)^{2}-2\sin^{2} x \cos^{2} x=1- \frac{1}{2}\left( \sin 2x\right)^2}\)
Podstawiamy jedno do drugiego
\(\displaystyle{ \left( \sin x+ \cos x\right)^2 = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ 1+2\sin x \cos x = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ \sin 2x = - \frac{3}{4}}\)
Teraz drugie:
\(\displaystyle{ \sin^{4} x+\cos^{4} x=\left(\sin^{2} x+\cos^{2} x \right)^{2}-2\sin^{2} x \cos^{2} x=1- \frac{1}{2}\left( \sin 2x\right)^2}\)
Podstawiamy jedno do drugiego