Rozwiązać równanie z parametrem i funkcjami tryg.

[chudiniii]

Treść zadania:

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ cos2x+cosx=k^{2}+4m+3}\), wiedząc że k jest pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ 2^{k}+2^{-k}=2}\), natomiast \(\displaystyle{ m=\lim_{n\to }\frac{1-2n^{3}}{2n^{3}-7n}}\)




Proszę o rozwiązanie z wytłumaczeniem będę bardzo wdzięczny.

[ariadna]

m=-1, to widać
Teraz k:
\(\displaystyle{ 2^{k}+\frac{1}{2^{k}}=2}\)
\(\displaystyle{ t=2^{k}}\)
\(\displaystyle{ t>0}\)
\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=2}\)
\(\displaystyle{ t^{2}-2t+1=0}\)
\(\displaystyle{ t=1}\)
\(\displaystyle{ 2^{k}=1}\)
\(\displaystyle{ k=0}\)
I potem:
\(\displaystyle{ cos2x+cosx=-1}\)
\(\displaystyle{ 2cos^{2}x+cosx=0}\)
\(\displaystyle{ cosx(2cosx+1)=0}\)

[chudiniii]

nie rozumiem tylko co się stało z tą -1 w linijce cos2x+cosx= -1

Mam jeszcze prośbę do pomocnika czy mógłby przedstawić wynik w postaci \(\displaystyle{ x=\frac{\pi}{2}+k\pi , x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi, x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi}\) bo nie wiem za bardzo o co chodzi w tej odpowiedzi ??:

[soku11]

\(\displaystyle{ cos2x+cosx=-1\\
cos^{2}x-sin^{2}x+cosx+1=0\\
cos^{2}x-(1-cos^{2}x)+cosx+1=0\\
cos^{2}x-1+cos^{2}x+cosx+1=0\\
2cos^{2}x+cosx=0\\
cosx(2cosx+1)=0\\
cosx=0\ \ \ cosx=-\frac{1}{2}\\
x=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \ \ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi\ \ \ x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi}\)

POZDRO

[chudiniii]

Thx oczywiście punkciki dla was