Witam. Otóż mam mały problem z pewnym równaniem trygonometrycznym.
\(\displaystyle{ \tg x + \tg 2x = \tg 3x}\)
Korzystam z tożsamości: \(\displaystyle{ \tg x + \tg 2x = \frac{\sin (x+2x)}{\cos x \cos2x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin 3x}{\cos x \cos2x} = \frac{\sin 3x}{\cos 3x}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sin 3x}{\cos x \cos2x} - \frac{\sin 3x}{\cos 3x} = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x (\frac{1}{\cos x \cos2x} - \frac{1}{\cos 3x}) = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x (\frac{\cos 3x - \cos x \cos2x}{\cos x \cos2x \cos 3x}) = 0}\)
\(\displaystyle{ \sin 3x = 0 \vee \frac{\cos 3x - \cos x \cos2x}{\cos x \cos2x \cos 3x}=0}\)
Przekształcam drugie równanie mnożąc obustronnie przez mianownik:
\(\displaystyle{ \cos 3x - \cos x \cos2x = 0}\)
\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos x \cos2x}\)
\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos x \cos2x}\)
\(\displaystyle{ \cos 3x = \frac{\cos x + cos 3x}{2}}\)
\(\displaystyle{ \cos 3x = \cos x}\)
Ostatecznie otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sin 3x = 0 \vee \cos 3x = \cos x}\)
\(\displaystyle{ 3x = k \pi \vee 3x = x +2k \pi \vee 3x = -x +2k \pi}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{k \pi}{3} \vee x = k \pi \vee x = \frac{k \pi}{2}}\)
\(\displaystyle{ k, n \in C}\)
Na koniec zajmiemy się dziedziną:
\(\displaystyle{ \cos x \cos 2x \neq 0 \wedge \cos 3x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 2x \neq \frac{\pi}{2} + n \pi \wedge 3x \neq \frac{\pi}{2} + n \pi}\)
\(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{n \pi}{2} \wedge x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{n \pi}{3}}\)
I teraz pojawia się problem. W odpowiedzi mam, że rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x = k \pi}\). Domyślam się, że pozostałe rozwiązania odpadają ze względu na dziedzinę, tylko nie wiem, w jaki sposób to uzasadnić. Proszę o pomoc.-- 18 lis 2013, o 22:43 --Ponawiam prośbę o pomoc, zadanie jest już w większości rozwiązane, potrzebuję tylko pomocy przy samym końcu,