Wyznacz dziedzinę funkcji

[KubaJBSK]

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{sinx-cosx}

sinx-cosx \neq 0

sinx=-cosx


-cosx-cosx=0

-2cosx=0

cosx=0 \Rightarrow cosx= \frac{ \pi }{2} \vee \frac{3}{2} \pi \vee -\frac{ \pi }{2} \vee - \frac{3}{2} \pi}\)

Mam wrażenie że byłoby to zbyt proste więc co robię źle?

[Kartezjusz]

Dlaczego pomiędzu drugą a trzecią linijką sinus ci się zmienił w cosinus.

[KubaJBSK]

ponieważ podstawiłem za sinus -cosinus
w 3 linijce zapisałem tylko z czego będę korzystał a w 4 linijce podstawiłem zgodnie z 3



To są jakieś bzdury to jest na pewno źle przecież \(\displaystyle{ sinus \neq - cosinus}\)

\(\displaystyle{ sinx-cosx \neq 0

cosx=sin\left( \frac{ \pi }{2}- \alpha \right)}\)

[Kartezjusz]

No właśnie. Teraz wzorek na różnicę sinusów.

[KubaJBSK]

a więc tak:
\(\displaystyle{ \sin x-\sin\left( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right) \neq 0}\)

\(\displaystyle{ 2\sin\left( \frac{x - \frac{ \pi }{2}- \alpha }{2} \right) * \cos\left( \frac{x + \frac{ \pi }{2}- \alpha }{2} \right)}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \left( 2x - \pi - 2 \alpha \right) * \cos\left( 2x+ \pi -2 \alpha \right)}\)

Teraz mam skorzystać ze wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa?

[Kartezjusz]

Dokładnie. Teraz wzór na różnicę sinusów i masz róananie, do którego się przyzwyczaiłeś

[KubaJBSK]

Czy ja wiem czy się przyzwyczaiłem mam 3 niewiadome i nie za bardzo wiem co dalej

[Kartezjusz]

Zamiast \(\displaystyle{ \alpha}\)powinno być \(\displaystyle{ x}\)

[KubaJBSK]

A więc tak:

\(\displaystyle{ 2\sin \pi \cdot \cos \pi \neq 0}\)

Teraz muszę użyć arcsin i arccos?

\(\displaystyle{ 2 \cdot 0 \cdot \left( -1\right) \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 0 \neq 0}\)

Równanie sprzeczne?

\(\displaystyle{ D_{f}=x \in \RR}\)

[mortan517]

\(\displaystyle{ \sin x-\sin\left( \frac{ \pi }{2} - x \right) \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \sin \alpha \pm \sin \beta = 2 \sin \tfrac {\alpha \pm \beta} 2 \cdot \cos \tfrac {\alpha \mp \beta } 2}\)

\(\displaystyle{ 2\sin \frac{x - \frac{\pi}{2} +x }{2}\cdot \cos \frac{x + \frac{\pi}{2} -x }{2} \neq 0}\)

[KubaJBSK]

Tam u góry popełniłem chyba błąd, jeszcze raz korzystam z tego wzoru:

\(\displaystyle{ \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2\cos \left( \frac{x+ \frac{ \pi }{2}-x }{2}\right) \sin \left( \frac{x- \frac{ \pi }{2}-x }{2}\right) \neq 0

2\cos \pi \sin\left( -\pi\right) \neq 0}\)

teraz prawidłowo?


i dalej
\(\displaystyle{ \cos \pi = -1 \wedge \sin -\pi = 0 \Rightarrow
D_{f}= x \in \RR \setminus \left\{ -\pi\right\}}\)



Nie jestem pewny czy dobrze?

[Kartezjusz]

Popatrz na Mortana...

[KubaJBSK]

Nie rozumiem mój wzór jest zły?
W książce takie mam:

\(\displaystyle{ \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}\)
oraz
\(\displaystyle{ \sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}}\)

Natomiast we wzorze Mortana zmieniają się tylko znaki, więc które są prawidłowe??


Do moderatora:
Mogę umieścić zdjęcie?

[mortan517]

Wzór jest dobry zarówno mój jak i twój, bo to ten sam wzór.

Chodzi o to, że przy podstawianiu nie zmieniłeś jednego znaku. Ja napisałem formę poprawną. Przyjrzyj się i przeanalizuj.

[KubaJBSK]

Okej zrobię to jeszcze raz dokładniej korzystając z tego:
\(\displaystyle{ \sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}}\)

\(\displaystyle{ \alpha = x

\wedge

\beta= \frac{\pi}{2} -x}\)

już wiem o chyba o co chodzi w becie -x zmienia się na + x

więc tak:
\(\displaystyle{ \sin x - \sin \left( \frac{\pi}{2}-x\right) = 2\cos \frac{x + \left( \frac{\pi}{2}-x\right) }{2} \sin \frac{x - \left( \frac{\pi}{2}-x\right) }{2}}\)

teraz dobrze?

dalej
\(\displaystyle{ 2\cos \pi \sin \left( x-\pi\right) \Rightarrow \sin x - \sin \left( \frac{\pi}{2}-x\right) = 0 \Leftrightarrow \left\sin ( x-\pi\right) = 0 \Rightarrow x= 2\pi \vee x= 0}\)

\(\displaystyle{ D_{f}= x \in \RR \setminus \left\{0, 2\pi\right\}}\)