Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Daumier »

Witam. Mam problem z tym zadaniem. Ciężko mi to udowodnic. Proszę o jakieś wskazówki.

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek \(\displaystyle{ sin\alpha=2cos\gamma sin\beta}\), to trójkąt ten jest równoramienny.
Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Vixy »

bede tutaj korzystac z tw. sinusów oraz z tw. cosinusów

a znajduje sie naprzeciw kata \(\displaystyle{ \alpha}\)
b znajduje sie naprzeciw kata \(\displaystyle{ \beta}\)
c znajduje sie naprzeciw kata \(\displaystyle{ \gamma}\)


\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{c}{sin\gamma}}\)
\(\displaystyle{ a*sin\gamma=c*sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{a}{c}*sin\gamma}\)


\(\displaystyle{ \frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}}\)
\(\displaystyle{ b*sin\gamma=c*sin\beta}\)
\(\displaystyle{ sin\beta=\frac{b}{c}*sin\gamma}\)

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2a*b*cos\gamma}\)
\(\displaystyle{ c^2-a^2+b^2=-2ab*cos\gamma}\)
\(\displaystyle{ cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a*b}}\)


\(\displaystyle{ \frac{a}{c}*sin\gamma=2*\frac{a^2+b^2-c^2}{2a*b}*\frac{b}{c}*sin\gamma}\)
\(\displaystyle{ a^2=a^2+b^2-c^2}\)
\(\displaystyle{ b^2=c^2}\)
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Daumier »

A mając taki przykład:

Wykaż, że jeżeli kąty wewnętrzne trójkąta spełniają warunek \(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{sin\beta+sin\gamma}{cos\beta+cos\gamma}}\) to ten trójkąt jest prostokątny.

Co najlepiej zamienic ?

Wybaczcie. Bardzo proszę o wskazówki.
Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Vixy »

bok b znajduje sie naprzeciw kata \(\displaystyle{ \beta}\)
bok c znajduje sie naprzeciw kata \(\displaystyle{ \gamma}\)
bok a znajduje sie naprzeciw kata \(\displaystyle{ \beta}\)

\(\displaystyle{ sin\beta+sin\gamma=sin\alpha(cos\beta+cos\gamma)}\)

uzaleznie wszystko od \(\displaystyle{ sin\alpha}\) tak żeby mogło mi się to skrócić

\(\displaystyle{ \frac{b}{sin\beta}=\frac{a}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ sin\beta=\frac{b}{a}*sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{c}{sin\gamma}=\frac{a}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{c}{a}sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{b}{a}*sin\alpha+\frac{c}{a}*sin\alpha=sin\alpha(cos\beta+cos\gamma)}\)

\(\displaystyle{ b^2=a^2+c^2-2ac*cos\beta}\)
\(\displaystyle{ cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}\)

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab*cos\gamma}\)
\(\displaystyle{ cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}\)

\(\displaystyle{ \frac{b+c}{a}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}\)

\(\displaystyle{ b+c=\frac{2c(a^2+b^2-c^2)+2b(a^2+c^2-b^2)}{2bc}}\)

\(\displaystyle{ (b+c)*2bc=2a^2c+2b^2c-2c^3+2a^2b+2c^2b-2b^3}\)
\(\displaystyle{ 2a^2c-2c^3+2a^2b-2b^3=0}\)


narazie do tego momentu doszlam , na pewno bedzie to wzor skrocnego mnozenia 3 stopnia .
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Daumier »

To równanie ostatnie nie za bardzo się zgadza. Wstawiając zamiast literek boki trójkąta egipskiego: 3,4,5... nie wychodzi 0 Coś nie tak.

Ja ciagle próbuje i nic nie wychodzi. Jak dojść do tych 90 stopni ?
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Lorek »

Może skorzystaj ze wzorów na sumę sinusów/cosinusów. Otrzymasz równanie \(\displaystyle{ \sin\alpha=\cot\frac{\alpha}{2}}\) i jak rozwiążaesz to masz co chcesz.
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Daumier »

Korzystając z sum sinusów i cosunusów:

\(\displaystyle{ \sin\alfa=\frac{2\sin\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{2\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}}\)

Sie poskraca:

\(\displaystyle{ \sin\alfa=\tan\frac{\beta+\gamma}{2}}\)
\(\displaystyle{ \alfa=\pi-(\beta+\gamma)}\) => Jako że trójkąt
Czyli \(\displaystyle{ \sin\pi-(\beta+\gamma)=sin\beta+\gamma}\)
\(\displaystyle{ sin\beta+\gamma=\tan\frac{\beta+\gamma}{2}}\)

I co teraz ??

Nie można tego zrobic jak próbowała smerfetka wyzej ? Chodzi mi o nie używanie "skopmlikowanych" wzorów trygonometrycznych
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Lorek »

Daumier pisze:Nie można tego zrobic jak próbowała smerfetka wyzej
Pewnie, że można
Daumier pisze:Chodzi mi o nie używanie "skopmlikowanych" wzorów trygonometrycznych
Najbardziej "skomplikowanym" wzorem jest ten na sumę (co)sinusów.
Co do rozwiązania to już lepiej \(\displaystyle{ \beta+\gamma=\pi-\alpha}\) i jest
\(\displaystyle{ \sin\alpha=\tan(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2})=\cot\frac{\alpha}{2}\\2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\cos\frac{\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}}\)
i teraz korzystając z tego, że \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\) jest kątem ostrym można wiele skrócić/uproscić.
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Daumier »

Lorek pisze:
Daumier pisze:Nie można tego zrobic jak próbowała smerfetka wyzej
Pewnie, że można
A jak ??
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Lorek »

Prawie tak jak to zrobiła smerfetka18. Do tego równania
\(\displaystyle{ \frac{b+c}{a}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}}\)
jest ok, ale dalej
\(\displaystyle{ b+c=\frac{c(a^2+b^2-c^2)+b(a^2+c^2-b^2)}{2bc}}\)
po wymnożeniu, uporządkowaniu daje sie zwinąć do postaci
\(\displaystyle{ (b+c)(a^2-b^2-c^2)=0}\)
czyli \(\displaystyle{ a^2=b^2+c^2}\)
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Daumier »

Mogę prosic o krótkie wyjaśnienie co się stało na końcu ? Skąd ten pitagoras się wziął ? Z jakiego działania ? Z góry dziękuje.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

Zadanie na tw. cosinusów i sinusów

Post autor: Lorek »

mamy to:
\(\displaystyle{ b+c=\frac{c(a^2+b^2-c^2)+b(a^2+c^2-b^2)}{2bc}}\)
i przekształcamy
\(\displaystyle{ 2b^2c+2bc^2=a^2c+b^2c-c^3+a^2b+c^2b-b^3\\a^2c+a^2b-(c^3+b^3+b^2c+c^2b)=0\\a^2(b+c)-(b+c)(b^2+c^2)=0\\(a^2-b^2-c^2)(b+c)=0\\a^2-b^2-c^2=0\:\vee\: b+c=0}\)
ODPOWIEDZ