Suma skończonego ciągu cosinusów

[Hadar]

TO musi być proste zadanie, ale chyba mam jakieś chwilowe zaćmienie albo jestem zbyt zmęczony i nie mogę czegoś zauważyć. Proszę o pomoc:

Pokaż, że

\(\displaystyle{ \cos(\theta) + \cos(3\theta) + ... + \cos((2n-1)\theta) = \frac{\sin(2n\theta)}{2\sin(\theta)}}\) ,
gdzie \(\displaystyle{ \theta \in \mathbb{C}}\) i \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_+}\).

[Qń]

Wskazówka: indukcja matematyczna.

Q.

[Hadar]

Zapomniałem napisać, że mam skorzystać ze wzoru na sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego.

[Qń]

W takim razie policz część rzeczywistą wyrażenia:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (\cos \theta + i\sin\theta )^{2k-1}}\)
na dwa sposoby - raz używając wzoru de Moivre'a, a raz używając wzoru na sumę ciągu geometrycznego.

Q.