obliczyc wartosc

[ziomalok19]

obliczyc: \(\displaystyle{ \arcsin (\sin (-2))}\)
\(\displaystyle{ \arcsin (\sin (-2))=\arcsin (-\sin ( \pi -2))=\arcsin (\sin (2- \pi ))=2- \pi}\)

Nie bardzo zrozumiałem jak to jest bo mam coś zapisane że jak używam jednego \(\displaystyle{ \pi}\) to zmieniam znak a jak dwóch to juz nie. Nie bardzo wiem o co chodzi. Może ktoś będzie wiedział?

Edit: To może sprawdzcie czy to jest dobrze zrobione:

\(\displaystyle{ \arcsin (\sin (5))=\arcsin (-\sin ( 2\pi -5))=\arcsin (\sin (5- 2\pi ))=5- 2\pi}\)

[kerajs]

Szukając wyniku z wyrażenia \(\displaystyle{ \arcsin (\sin (a))}\) narzuca się rozwiązanie typu
\(\displaystyle{ \arcsin (\sin (a))=b}\)
\(\displaystyle{ \sin (a)=\sin b}\)
\(\displaystyle{ a=b}\)
Byłby to poprawny wynik ale przy spełnieniu pewnych założeń.
Liczba a może być dowolną liczbą rzeczywistą bo \(\displaystyle{ \sin a \in \left\langle -1;1\right\rangle}\) czyli spełnia założenia dla arkusa sinusa , ale zbiór wartości arkusa (czyli b) musi być z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -\frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\)
Przekształcenia które wykonywałeś; czyli dodawanie/odejmowanie naturalnej wielokrotności pi; sprawiały że wynik był zgodny ze zbiorem wartości arkusa sinusa (czyli należał do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -\frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\))
Dodawanłeś/odejmowałeś naturalne wielokrotności pi bo wzory redukcyjne je zawierające nie powodują przejścia w kofunkcję (tj \(\displaystyle{ \sin( \pi + \alpha )=-\sin( \alpha )}\) ; \(\displaystyle{ \sin( 2\pi + \alpha )=\sin( \alpha )}\)); \(\displaystyle{ \sin( \left(2k+1 \right) \pi + \alpha )=-\sin( \alpha )}\) ; \(\displaystyle{ \sin( k2\pi + \alpha )=\sin( \alpha )}\) (lub wygodniej dla Ciebie \(\displaystyle{ \sin \alpha =sin\left( \alpha +2 \pi \right)=\sin\left( \alpha +k2 \pi \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \sin \alpha =-sin\left( \alpha +\pi \right)=-\sin\left( \alpha + (k2 +1)\pi \right)}\)) gdzie k to liczba całkowita ) co wyjaśnia że przy parzystej wielokrotności pi nie ma zmiany znaku, a przy nieparzystej znak zmieniasz.
Stosujesz też wzór \(\displaystyle{ \sin\left( - \beta \right)=-\sin \beta}\)

Tak samo można postępować przy wyrażeniach typu \(\displaystyle{ \arccos (\cos (a))}\)

Jednak dla \(\displaystyle{ \arcsin (\cos (a))}\) (czy \(\displaystyle{ \arccos (\sin (a))}\) )wpierw dodasz połowę pi aby przejść do \(\displaystyle{ \arcsin (\sin (a ^{'} ))}\), ( czy \(\displaystyle{ \arccos (\cos (a ^{'} ))}\) )

Twój przykład
\(\displaystyle{ \arcsin (\sin (5))}\)
Ile pi (w przybliżeniu 3) należy dodać/odjąć do 5 aby wynik należał do przedziału \(\displaystyle{ \left\langle -\frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} \right\rangle}\) (w przybliżeniu od -1.5 do 1.5)?
Oczywiście dwa i stąd
\(\displaystyle{ \arcsin (\sin (5))=\arcsin (\sin (5-2 \pi ))=5- 2\pi}\)

[ziomalok19]

Dzięki wielkie za wyjaśnienie!

[szukampomocy90]

Mam pytanie, dlaczego: \(\displaystyle{ \arccos(\cos 5) = \arccos(\cos -5) = \arccos(\cos 2 \pi - 5) = 2 \pi - 5}\)
a np. \(\displaystyle{ \arccos(\cos 8) = \arccos(\cos 8 - 2 \pi ) = 8 - 2 \pi}\)

Czemu w tym pierwszym rownaniu piszemy \(\displaystyle{ -5}\) a w drugim juz tego nie robimy ?

[kerajs]

Do Szukampomocy90

Aby wykorzystać wzór \(\displaystyle{ \arccos (\cos (a))=a}\) spełnione musi być założenie że \(\displaystyle{ a \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\) ( bo zbiór wartości arkusa kosinusa to: \(\displaystyle{ \arccos (\cos (a)) \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\) ) i jest to powodem dla którego przekształca się argument w wyrażeniu \(\displaystyle{ \arccos (\cos (x))}\).
Można to robić stosując wzory redukcyjne:
\(\displaystyle{ \cos x=-\cos\left( x+\left( 2k+1\right) \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ \cos x=-\cos\left( -x+\left( 2k+1\right) \pi \right)}\)
\(\displaystyle{ \cos x=\cos\left( x+2k\pi \right)}\)
\(\displaystyle{ \cos x=\cos\left(- x+2k\pi \right)}\)
Wzorów zawierających połowę pi się niestosuje gdyż przekształcają kosinus w niechciany tu sinus.

Dwa pierwsze wzory są nieprzydatne bo przekształcają \(\displaystyle{ \arccos (\cos (x))}\) na \(\displaystyle{ \arccos (-\cos (....))}\) dając niewygodny minus który można zlikwidować wracając do postaci początkowej. Więc dodawanie/odejmowanie nieparzystych wielokrotności pi jest niewskazane.

Pozostaje dodawanie/odejmowanie tylko parzystych wielokrotności pi.
Są tu dwa przypadki:

1. Istnieje taka parzysta wielokrotność pi która dodana/odjęta do argumentu należy do zbioru wartości arkusa kosinusa
\(\displaystyle{ x+k2 \pi \in \left\langle 0; \pi \right\rangle}\)
wtedy
\(\displaystyle{ \arccos (\cos (x))=\arccos (\cos (x+K2 \pi ))=x+K2 \pi}\)
Tak jest w przykładzie:
\(\displaystyle{ \arccos(\cos 8) = \arccos(\cos( 8 - 2 \pi) ) = 8 - 2 \pi}\)

2. Taka wielokrotność mnie istnieje.
Ale wtedy jest taka parzysta wielokrotność pi która dodana/odjęta do argumentu należy do zbioru wartości \(\displaystyle{ \left\langle - \pi ;0\right\rangle}\). Stosując potem wzór \(\displaystyle{ \cos\left( x\right)=\cos\left( -x\right)}\) argument trafia do oczekiwanego zbioru \(\displaystyle{ \left\langle 0; \pi \right\rangle}\).
Tak jest w przykładzie:
\(\displaystyle{ \arccos(\cos 5) = \arccos(\cos (5-2 \pi) ) = \arccos(\cos( -(5-2 \pi))) =-(5-2 \pi )=2 \pi - 5}\)


Ps. Powyższe przekształcenia są tylko jednym ze sposobów dochodzenia do wyniku.



Ps2. Aby zakończyć temat to :
\(\displaystyle{ \arccos (\sin (x))=\arccos (\cos ( \frac{ \pi }{2}-x )}\)
\(\displaystyle{ \arcsin (\cos (x))=\arcsin (\sin ( \frac{ \pi }{2}-x )}\)
A wyrażenia \(\displaystyle{ \arccos (\cos ( \frac{ \pi }{2}-x )}\) i \(\displaystyle{ \arcsin (\sin ( \frac{ \pi }{2}-x )}\) można rozwiązać stosując wskazówki z tego i poprzedniego postu.