Twierdzenie Lagrange'a

[Kvothe]

Witam, chodzi o zadanie, w którym trzeba udowodnić tożsamość:

\(\displaystyle{ \arctan x = \arcsin{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}}\)

Na mocy twierdzenia, istnieje conajmniej jeden punkt w rozpatrywanym przedziale, o własności:

\(\displaystyle{ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \iff f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)}\)

Stosując pochodne, można udowodnić, że te funkcje różnią się stałą, bo mają pochodne są równe. Skąd wynika fakt, że ta stała jest równa 0?

[Chromosom]

Można obliczyć wartość obu funkcji w punkcie \(\displaystyle{ x=0}\).

[Kvothe]

Można, tylko pytanie z czego to wynika. Dla \(\displaystyle{ x=0}\) równość jest spełniona, ale tak samo jest dla każdego elementu dziedziny, bo właśnie to trzeba udowodnić. Dlaczego mogę sobie wybrać dowolną liczbę? Jak się do tego ma twierdzenie Lagrange'a?

[Chromosom]

Jeśli wartość obu funkcji w pewnym punkcie jest taka sama, oraz pochodna funkcji powstałej poprzez odjęcie jednej ze stron równania od drugiej jest zerowa, funkcje te mają taką samą wartość w całej dziedzinie swoich pochodnych.

[Kvothe]

W tym przypadku dziedzina pochodnych to zbiór liczb rzeczywistych. Więc z tego by wynikało, że \(\displaystyle{ \arctan x}\) jest funkcją stałą, a to nieprawda. Pochodna obu funkcji jest taka sama i nigdy nie będzie równa 0. Czy chodzi o różnice pochodnych?

[Chromosom]

Poprawiłem źle napisane fragmenty mojej wypowiedzi. Należy jeszcze dodać, że dziedzina pochodnej wynika między innymi (ale nie tylko) z dziedziny funkcji.

[Kvothe]

Teraz rozumiem, dzięki.