Równanie trygonometryczne-dwie sprzeczne wersje rozwiązania

[Fisher-c57]

Witam
Rozwiązując zadanie:
\(\displaystyle{ 4 ^{\cos(2x + \frac{\pi}{2}) }=8^{\tg(x- \frac{\pi}{2}) \ \ \ x\in(2,5)}\)
na dwa sposoby, tzn sposób ten sam tylko że w jednym przypadku za \(\displaystyle{ \sin x \ wstawilem \ \sqrt{1-\cos^{2} x }}\)
otrzymałem dwa nie pokrywające się wyniki
Tak to wygląda:
\(\displaystyle{ 4 ^{\cos(2x + \frac{\pi}{2}) }=8^{\tg(x- \frac{\pi}{2}) } \\
2^{2 \cos(2x + \frac{\pi}{2}) }=2^{3\tg(x- \frac{\pi}{2} )}

2\cos(2x+ \frac{\pi}{2})=3tg(x- \frac{\pi}{2}) \\
Stosujac \ wzory \ redukcyjne: \\
-2\sin2x=-3\ctg x \\
-4\sin x\cos x=-3\ctg x \\
4\sin x\cos x=3\ \frac{\cos x}{\sin x} / \cdot \sin x \\
4\sin^{2}x\cos x = 3\cos x \\
4\sin^{2}x\cos x - 3\cos x = 0\\}\)

I w tym miejscu w jednej wersji za \(\displaystyle{ \sin x \ wstawilem \ \sqrt{1-\cos^{2} x }}\), a w drugiej liczyłem normalinie:
1) z podstawieniem za sinusa:
\(\displaystyle{ 4(1-\cos^{2} x)\cos x - 3\cos x = 0 \\
(4-4 \cos^{2} x)cos x - 3\cos x=0\\
4\cos x - 4\cos^{3} x - 3\cosx=0\\
-4 \cos^{3} + \cos x = 0 / \cdot -1 \\
\cos x(4\cos^{2}-1)=0 \\
\cos x =0 \ v \ 4\cos ^{2}-1 = 0 \\
\cos x = 0 \ gdy \ x = \frac{\pi}{2} +k\pi \\
w \ mojej \ dziedzinie \ miesci \ sie \ tylko \ \frac{3\pi}{2} \\
\\
4\cos^{2}x-1=0\\
\cos^{2}x= \frac{1}{4} \\
\cos x = \frac{1}{2} \ gdy \ x=\frac{\pi}{3} + 2k\pi \ \ \ x= \frac{\pi}{3} +2k\pi \ ; \ x= \frac{5\pi}{3}+2k\pi \ \ \ \ \ te \ rozwiazania \ nie\ mieszcza \ sie\ w\ mojej \ dziedzinie}\)
Odp:x=\(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2}}\)

2) gdy nie podstawię za sinusa
\(\displaystyle{ \sqrt{1-\cos^{2} x }}\)
\(\displaystyle{ 4\sin^{2}x\cos x - 3\cos x = 0\\
\cos x(4\sin^{2}x -3)=0\\ \cos x =0 \ v \ 4\sin^{2}x - 3 =0
\cos x = 0 \ gdy \ jak \ juz\ wiemy\ x= \frac{3\pi}{2} \\
\\
4\sin^{2} - 3 = 0\\ \sin^{2}= \frac{3}{4} \\ \sin x= \frac{ \sqrt{3} }{2} \ gdy \ x = \frac{2\pi}{3} +2k\pi \ \ \ x= \frac{\pi}{3}
+ 2k\pi \\
w \ mojej \ dziedzinie \ miesci \ sie \ \frac{2\pi}{3} \\
Odp: x= \frac{3\pi}{2} \ ; \ x=\frac{\pi}{3}}\)

Dlaczego odpowiedź w wersji 2 wykracza za odpowiedź wersji 1szej?

[Sir George]

Fisher-c57, błąd jest w ostatniej linijce rozwiązania (ten sam w obu!). Pierwiastkując stronami r-nie \(\displaystyle{ 4\cos^2x=1}\), czy odpowiednio \(\displaystyle{ 4\sin^2x=3}\), musisz uważać, aby nie "zapomnieć" o rozwiązaniach ujemnych. Ja sugeruję, aby korzystać raczej ze wzorów skróconego mnożenia...
\(\displaystyle{ 4\cos^2x-1=(2\cos x-1)(2\cos x+1)}\) oraz \(\displaystyle{ 4\sin^2x-3=(2\sin x-\sqrt3)(2\sin x+\sqrt3)}\)

Myślę, że dalej sobie poradzisz...